3山形大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) $L=\ln a>0$、$\displaystyle u=\log_a x=\frac{\ln x}{L}$ とおくと、$\displaystyle \log_x a=\frac1u$ である。したがって $$\displaystyle f(x)=u+\frac1u-2,\qquad f'(x)=\left(1-\frac1{u^2}\right)\frac1{xL} =\frac{u^2-1}{u^2xL}.$$ $xL>0$ なので、$f'$ の符号は $u^2-1$ の符号で決まる。$u=\log_a x$ は単調増加し、 $$\begin{array}{c|cccc} x&0<x<a^{-1}&a^{-1}<x<1&1<x<a&x>a\\ \hline u&u<-1&-1<u<0&0<u<1&u>1\\ f'(x)&+&-&-&+ \end{array}$$ となる。$u=-1$ は $x=a^{-1}$ に対応し $f=-4$、$u=1$ は $x=a$ に対応し $f=0$ である。よって、極大値は $-4$、極小値は $0$ である。

(2)(i) 曲線 $y=\log_a x$ の導関数は $\displaystyle y'=\frac1{xL}$ だから、$P(t,\log_a t)$ における接線は $$\displaystyle y-\frac{\ln t}{L}=\frac{x-t}{tL}.$$ この接線と $x$ 軸との交点 $Q$ は $y=0$ を代入して $$Q=(t(1-\ln t),0),\qquad R=(t,0)$$ となる。したがって $QR=t\ln t$、高さ $\displaystyle PR=\log_a t=\frac{\ln t}{L}$ より $$\displaystyle S_1(t)=\frac12(t\ln t)\frac{\ln t}{L} =\frac{t(\ln t)^2}{2L}.$$

(2)(ii) $q=t(1-\ln t)$ とおくと、$q(1)=1$、$q'(t)=-\ln t<0$ ($t>1$) なので $q<1$。また曲線の二階導関数は $$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log_a x=-\frac1{x^2L}<0$$ だから、そのグラフは接線より下にある。曲線は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$x=t$ で $P$ を通るので、求める図形の面積は三角形 $PQR$ から曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を引いたものになる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S_2(t) &=S_1(t)-\int_1^t\log_a x\,dx\\ &=\frac{t(\ln t)^2}{2L}-\frac{t\ln t-t+1}{L}\\ &=\frac{\frac{t}{2}(\ln t)^2-t\ln t+t-1}{L}. \end{aligned}$$ ここでは $\displaystyle \int_1^t\ln x\,dx=t\ln t-t+1$ を用いた。

(2)(iii) $u=\ln t$ とすると、 $$\displaystyle \frac{S_2(t)}{S_1(t)} =1-\frac2u+\frac2{u^2}-\frac2{tu^2}.$$ $t\to\infty$ で $u=\ln t\to\infty$ だから、右辺の後ろ3項はすべて0に収束する。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}\frac{S_2(t)}{S_1(t)}=1.$$