4山形大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=x^n$ とおく。$x>0$ で $$f\prime\prime(x)=n(n-1)x^{n-2}>0$$ だから、曲線 $y=x^n$ は$x>0$ の範囲で下に凸である。

(2) $g(x)=x^n+x^{n-1}+(n-1)x^{n-2}$ とする。$n$ が奇数なら $n\ge3$ であり、 $$g\prime\prime(x)=n(n-1)x^{n-2}+(n-1)(n-2)x^{n-3}+(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}\quad(x\ne0).$$ 奇数 $n$ に対して $(-1)^{n-2}=-1,\ (-1)^{n-3}=1,\ (-1)^{n-4}=-1$ なので $$g\prime\prime(-1)=-(n-1)\{2+(n-2)(n-3)\}<0.$$ よってこの場合、曲線は全実数上で下に凸ではない。したがって全実数上で下に凸ならば $n$ は偶数である。

(3) $f(x)=x^n$ は $0\leq x\leq1$ の範囲で増加する。各 $k=1,\ldots,n$ について $$\displaystyle n\int_{(k-1)/n}^{k/n}x^n\,dx>\left(\frac{k-1}{n}\right)^n$$ だから $$\displaystyle \left(\frac{k}{n}\right)^n-n\int_{(k-1)/n}^{k/n}x^n\,dx<\left(\frac{k}{n}\right)^n-\left(\frac{k-1}{n}\right)^n.$$ これを $k=1$ から $n$ まで加えると、右辺では途中の項が消え $$\displaystyle a_n-n\int_0^1x^n\,dx<1.$$ $\displaystyle \int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}$ より $$\displaystyle a_n<\frac{n}{n+1}+1=\frac{2n+1}{n+1}.$$

(4) (1) と $x=0$ での連続性から、$0\leq x\leq1$ の範囲で曲線 $y=x^n$ は下に凸であり、異なる2点を結ぶ線分より、その間の曲線は下にある。したがって、各範囲 $\displaystyle \frac{k-1}{n}\leq x\leq\frac{k}{n}$ では $$\displaystyle \int_{(k-1)/n}^{k/n}x^n\,dx<\frac1{2n}\left\{\left(\frac{k-1}{n}\right)^n+\left(\frac{k}{n}\right)^n\right\}.$$ これらを加え、$x^n$ を $0$ から $1$ まで積分すると $$\displaystyle \frac{n}{n+1}<\frac12(0)^n+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^n+\frac12(1)^n=a_n-\frac12.$$ したがって $$\displaystyle a_n>\frac{n}{n+1}+\frac12=\frac{3n+1}{2n+2}.$$