2山形大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおくと $$A^2=\begin{pmatrix}p^2+qr&q(p+s)\\r(p+s)&s^2+qr\end{pmatrix}.$$ これが $\alpha E$ に等しいので、$p^2+qr=s^2+qr=\alpha$、$q(p+s)=r(p+s)=0$ である。$p+s=0$ の場合は $s=-p$ となり、$p^2+qr=\alpha$。従ってこの場合の解は $$A=\begin{pmatrix}x&y\\z&-x\end{pmatrix},\qquad x^2+yz=\alpha.$$ 一方、$p+s\neq0$ なら $q=r=0$。さらに $p^2=s^2$ と $p+s\neq0$ より $p=s$ なので、$A=tE$、$t^2=\alpha$。これらを合わせると、上記の二種類がすべてである。

(2) $\alpha>0$ に対し $$A=\sqrt\alpha\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\\beta&0\end{pmatrix}$$ とおく。このとき $$A^2=\alpha E,\qquad B^2=\beta E,$$ また $$AB=\sqrt\alpha\begin{pmatrix}0&1\\-\beta&0\end{pmatrix} =-BA.$$ よって条件をみたす例である。

(3) $A=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とする。条件 $AB=-BA$ を成分で比較すると $$2p+2q-r=0,\qquad p+s=0,\qquad r-2p-2q=0.$$ 従って $s=-p$、$r=2(p+q)$ であり、 $$A=\begin{pmatrix}p&q\\2(p+q)&-p\end{pmatrix},\qquad A^2=\bigl(p^2+2pq+2q^2\bigr)E =\bigl((p+q)^2+q^2\bigr)E.$$ 係数 $(p+q)^2+q^2$ は0以上であるため、負の実数 $\alpha$ に対して $A^2=\alpha E$ とはならない。したがってそのような $A$ は存在しない。