3金沢大学 2005年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle g(x)=f(x-\frac{\pi}{2})$ とする。fは $0\le x\le\pi$ の外側では0、gは $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ の外側では0である。 $$\displaystyle \int_0^{3\pi/2}f(x)^2\,dx =\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{2}.$$ 置換 $\displaystyle u=x-\frac{\pi}{2}$ により $$\displaystyle \int_0^{3\pi/2}g(x)^2\,dx =\int_0^\pi\sin^2u\,du=\frac{\pi}{2}.$$ 積 $f(x)g(x)$ は、両範囲が重なる $\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ の範囲外では0である。ここで $\displaystyle g(x)=\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x$ だから $$\displaystyle \int_0^{3\pi/2}f(x)g(x)\,dx =\int_{\pi/2}^{\pi}-\sin x\cos x\,dx=\frac12.$$ 従って $$\displaystyle T(a)=4a^2\cdot\frac{\pi}{2}+\frac1{a^2}\cdot\frac{\pi}{2}+4\cdot\frac12 =2\pi a^2+\frac{\pi}{2a^2}+2.$$ 平方を用いると $$\displaystyle T(a)=2\pi+2+\pi\frac{(2a^2-1)^2}{2a^2}\geq2\pi+2.$$ 等号は $a=1/\sqrt2$ で成立する。

f,gが0でない範囲と両範囲の重なりを確認し、交差積分を正符号で評価した。Tの交差項係数は4。a>0のもと平方項が非負で等号条件が許される。