金沢大学 2005年数学第1問解答・解説

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1問題

金沢大学2005年度第1問

3点 A(6, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 6) の定める平面を α とする。原点 O を通り平面 α に直交する直線と α との交点を H とする。また，線分 HO 上の点で，H からの距離が t となる点を $P_t$ とする。ただし， $P_t$ の動く範囲から両端点 H，O は除く。次の問いに答えよ。

(1) 点 H の座標と，t の動く範囲を求めよ。

(2) 平面 α 上にあり， $P_t$ からの距離が OH となる点が作る円を $S_t$ とする。 $S_t$ とその内部を底面とし， $P_t$ を頂点とする円錐の体積を f(t) とする。このとき f(t) を求めよ。

(3) (2) の f(t) の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 平面は $x+y+z=6$ 。法線方向は $(1,1,1)$ なので、原点からの法線と平面の交点は $H=(2,2,2)$ である。 $OH=2\sqrt3$ 、両端を除くので $0<t<2\sqrt3$ 。 (2) $P_t$ から平面までの距離は $t$ である。 $S_t$ は $P_t$ 中心・半径 $OH$ の球と平面の交円で、その中心は $H$ 。半径 $r$ は $r^2+t^2=OH^2=12$ を満たす。円錐の高さは $t$ なので $\displaystyle f(t)=\frac13\pi r^2t=\frac\pi3t(12-t^2).$ (3) $f'(t)=\pi(4-t^2)$ より、 $0<t<2$ で増加、 $2<t<2\sqrt3$ で減少する。従って $t=2$ で最大値 $16\pi/3$ 。

この問題で使う考え方

垂線
三平方
体積の最大化

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