2香川大学 2016年 数学 第2問解答・解説

立方体の頂点を $O=(0,0,0)$ とし、辺方向を座標軸に取る。$P=(t,t,t)$ とおけば $x=OP=\sqrt3t$。断面平面は $X+Y+Z=u$、ただし $u=\sqrt3x$ である。

$0\le u\le1$ では断面は頂点 $(u,0,0),(0,u,0),(0,0,u)$ の正三角形で、一辺は $\sqrt2u$。従って面積は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}u^2$。

$1\le u\le2$ とし $r=u-1$ とおく。断面六角形を $XY$ 平面へ正射影した頂点は $$(1,r),(r,1),(0,1),(0,r),(r,0),(1,0)$$ で、靴紐公式による面積は $\displaystyle \frac12(1+2r-2r^2)$。断面平面の法線は $(1,1,1)$、$XY$ 平面との法線のなす角の余弦は $1/\sqrt3$ だから、断面積は射影面積の $\sqrt3$ 倍である。$u=\sqrt3x$ に戻すと、中央区間では $$\displaystyle S(x)=\frac{\sqrt3}{2}\left[1+2(\sqrt3x-1)-2(\sqrt3x-1)^2\right] =-3\sqrt3x^2+9x-\frac{3\sqrt3}{2}.$$ 立方体の中心に関する対称性より、$2\le u\le3$ の断面積は $u\le1$ の場合を反転した式になる。よって定義域 $0\le x\le\sqrt3$ で $$\displaystyle S(x)=\begin{cases} \frac{3\sqrt3}{2}x^2,&0\le x\le\frac1{\sqrt3},\\ -3\sqrt3x^2+9x-\frac{3\sqrt3}{2},&\frac1{\sqrt3}\le x\le\frac2{\sqrt3},\\ \frac{3\sqrt3}{2}(\sqrt3-x)^2,&\frac2{\sqrt3}\le x\le\sqrt3. \end{cases}$$ グラフは $x=\sqrt3/2$ を軸として対称である。端点は $(0,0)$ と $(\sqrt3,0)$。 接続点は $x=1/\sqrt3,\,2/\sqrt3$ で、どちらも $S(x)=\sqrt3/2$。 中央枝の頂点は $(\sqrt3/2,\,3\sqrt3/4)$。最初と最後の枝は上に凸、中央枝は下に凸の放物線である。

積分では $u=\sqrt3x$ と置けば $$\displaystyle \int_0^{2/\sqrt3}S(x)\,dx =\frac12\left(\int_0^1u^2\,du+\int_1^2\bigl[u^2-3(u-1)^2\bigr]\,du\right) =\frac12\left(\frac13+\frac43\right)=\frac56.$$

座標化して断面平面を$X+Y+Z=\sqrt3x$とする。正射影を使い、三角形・六角形・反転三角形の三範囲で断面積を求める。各式の接続点と中心対称性からグラフを確認し、$u=\sqrt3x$で積分すると$\displaystyle \frac56$。