4岡山大学 2015年 数学 第4問解答・解説

平面は $x+y+z=t$ である。これを $xy$ 平面に正射影すると、切り口の射影領域は $D_t=\{(x,y)\mid 0\le x,y\le1,\ t-1\le x+y\le t\}$ となる。平面の法線ベクトルは $(1,1,1)$、$xy$ 平面の法線ベクトルは $(0,0,1)$ なので、両法線のなす角を $\theta$ とすると $\cos\theta=1/\sqrt3$ である。平面図形の正射影面積は元の面積に $\cos\theta$ を掛けたものだから、切り口の面積は $D_t$ の面積の $\sqrt3$ 倍である。

$s$ に対し、単位正方形 $0\le x,y\le1$ 内で $x+y\le s$ となる部分の面積を $A(s)$ とおくと、 $$A(s)=\begin{cases}0&(s\le0),\\s^2/2&(0\le s\le1),\\1-(2-s)^2/2&(1\le s\le2),\\1&(s\ge2).\end{cases}$$ である。よって $D_t$ の面積は $A(t)-A(t-1)$ である。

したがって、$0\le t\le1$ では $f(t)=\sqrt3t^2/2$、$1\le t\le2$ では $f(t)=\sqrt3\{1-(2-t)^2/2-(t-1)^2/2\}=\sqrt3(-t^2+3t-3/2)$、$2\le t\le3$ では $f(t)=\sqrt3(3-t)^2/2$ となる。各境界でも隣り合う式は一致し、$t=0,3$ で問題文の値とも一致する。

$1\le t\le2$ では $-t^2+3t-3/2=3/4-(t-3/2)^2$ だから、この区間での最大値は $3/4$ であり、$t=3/2$ でとる。一方、両端の区間では $t^2/2$ および $(3-t)^2/2$ はいずれも $1/2$ 以下である。したがって全区間での最大値は $3\sqrt3/4$ である。

最後に、 $$\displaystyle \int_0^3 f(t)\,dt=\frac{\sqrt3}{2}\int_0^1t^2\,dt+\sqrt3\int_1^2(-t^2+3t-\frac32)\,dt+\frac{\sqrt3}{2}\int_2^3(3-t)^2\,dt=\frac{\sqrt3}{6}+\frac{2\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{6}=\sqrt3.$$