5長崎大学 2002年 数学 第5問解答・解説

一辺1の立方体の辺方向 $\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに垂直な単位ベクトルである。図の内分比は始点側から $AP:PE=BQ:QD=x:(1-x)$、$CR:RG=t:(1-t)$ なので、 $$\overrightarrow{OP}=\vec a+x\vec c,\quad \overrightarrow{OQ}=x\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{OR}=t\vec b+\vec c.$$

(1) 重心Sの位置ベクトルは頂点位置ベクトルの平均だから、 $$\displaystyle \overrightarrow{OS}=\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}}3 =\frac{1+x}{3}\vec a+\frac{1+t}{3}\vec b+\frac{1+x}{3}\vec c.$$

(2) 平面内の二方向を $$\overrightarrow{PQ}=(x-1)\vec a+\vec b-x\vec c,\quad \overrightarrow{PR}=-\vec a+t\vec b+(1-x)\vec c$$ とする。この2方向は平行でない。もし $\overrightarrow{PR}=\lambda\overrightarrow{PQ}$ なら、$\vec b$ 成分から $\lambda=t$、$\vec a$ 成分から $-1=t(x-1)$、すなわち $t=1/(1-x)>1$ となり、問題の条件 $0<t<1$ に反する。よってPQ, PRは平面PQRを張る。

OSが平面PQRに垂直なら、特に $\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{PQ}=0$。内積を計算すると $$3\overrightarrow{OS}\cdot\overrightarrow{PQ}=t-x$$ だから $t=x$ が必要。逆に $t=x$ なら $3\overrightarrow{OS}=(1+x)(\vec a+\vec b+\vec c)$ であり、PQ, PRの各係数の和はともに0なので、OSは両方向に垂直。従って求める条件は $$t=x.$$

(3) 以後 $t=x$、$w=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0$ と置く。 $$|PQ|^2=(x-1)^2+1+x^2=2w,\quad |PR|^2=1+x^2+(1-x)^2=2w,\quad PQ\cdot PR=w.$$ ゆえに $\cos\angle QPR=w/(2w)=1/2$、よって $\sin\angle QPR=\sqrt3/2$。三角形の面積は $$\displaystyle f(x)=\frac12|PQ||PR|\sin\angle QPR=\frac{\sqrt3}{2}w =\frac{\sqrt3}{2}\left((x-\frac12)^2+\frac34\right).$$ 定義域 $0<x<1$ の中で最小となるのは $x=1/2$、最小値は $3\sqrt3/8$。

(4) $x=t=1/2$ のとき、$\vec a,\vec b,\vec c$ を直交座標の軸とすると $$P=(1,0,1/2),\quad Q=(1/2,1,0),\quad R=(0,1/2,1).$$ 三角形OPQを底面にする。$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OQ}=5/4$、$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=1/2$。二辺のなす角を$\theta$とすると、内積の定義より $$\displaystyle [OPQ]=\frac12|OP||OQ|\sin\theta =\frac12\sqrt{|OP|^2|OQ|^2-(OP\cdot OQ)^2} =\frac{\sqrt{21}}8.$$ 法線ベクトルとして $\vec n=2\vec a-\vec b-4\vec c$ をとると、$\vec n\cdot\overrightarrow{OP}=\vec n\cdot\overrightarrow{OQ}=0$ で、$|\vec n|=\sqrt{21}$。従ってRから底面OPQまでの高さは、$\overrightarrow{OR}$ の単位法線方向の成分の大きさ $$\displaystyle h=\frac{|\vec n\cdot\overrightarrow{OR}|}{|\vec n|} =\frac{| -1/2-4 |}{\sqrt{21}}=\frac9{2\sqrt{21}}.$$ 四面体の体積は底面積×高さ÷3だから $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac{\sqrt{21}}8\cdot\frac9{2\sqrt{21}} =\frac3{16}.$$