6長崎大学 2002年 数学 第6問解答・解説

(1) $z=x+yi$（$x,y$は実数）とおくと，条件を2乗して$$(x+1)^2+y^2=(2x-1)^2+4y^2.$$ これを整理すると$$3x^2-6x+3y^2=0,$$ すなわち$$(x-1)^2+y^2=1$$となる。したがって，点$z$の描く図形は，複素数平面上で中心$1$，半径$1$の円である。

(2) この円上では$|z-1|=1$だから，$z-1=(\cos\theta+i\sin\theta)$と表せる。ここで$c=\cos\theta$とおくと，$$|z|^2=|1+(\cos\theta+i\sin\theta)|^2=2+2c, \qquad |z-4|^2=|(\cos\theta+i\sin\theta)-3|^2=10-6c.$$ よって$$|z^2-4z|^2=|z|^2|z-4|^2=(2+2c)(10-6c)=20+8c-12c^2.$$ したがって求める式は$20+8\cos\theta-12\cos^2\theta$である。

(3) $-1\le c\le1$であり，$$\displaystyle 20+8c-12c^2=\frac{64}{3}-12\left(c-\frac{1}{3}\right)^2$$だから，この値の最大値は$\displaystyle c=\frac13$のときの$\displaystyle \frac{64}{3}$である。従って$|z^2-4z|$の最大値は$\displaystyle \frac{8}{\sqrt3}$である。等号成立時は$\displaystyle \cos\theta=\frac13$かつ$\displaystyle \sin\theta=\pm\frac{2\sqrt2}{3}$なので，$$\displaystyle z=1+(\cos\theta+i\sin\theta)=\frac43\pm\frac{2\sqrt2}{3}i.$$