3長崎大学 2002年 数学 第3問解答・解説

2曲線の交点の $x$ 座標は、 $$px^2=-q(x-1)^2+1$$ を満たす。この式を整理すると $$(p+q)x^2-2qx+(q-1)=0$$ となる。$p+q>0$ であり、2曲線が接することはこの二次方程式が重解をもつことと同値だから、判別式を $0$ とおくと $$(-2q)^2-4(p+q)(q-1)=0$$ すなわち $$q^2=(p+q)(q-1)=pq+q^2-p-q$$ である。したがって $pq=p+q$、よって $$\displaystyle \frac1p+\frac1q=1.$$ ここから $\displaystyle q=\dfrac{p}{p-1}$ である。また重解の値は $\displaystyle x=\dfrac{q}{p+q}=\dfrac1p$ で、接点は $\displaystyle \left(\dfrac1p,\dfrac1p\right)$ となる。$p>1$ よりこの点は正方形の内部にある。

(2) $p>1$ なので、$C_1$ が上辺 $y=1$ と交わる $x$ 座標は $x=1/\sqrt p$ である。正方形内で $C_1$ より上にある部分は $0\le x\le 1/\sqrt p$ の範囲にあるから、 $$\displaystyle S_1=\int_0^{1/\sqrt p}(1-px^2)\,dx=\left[x-\frac{p}{3}x^3\right]_0^{1/\sqrt p}=\frac{2}{3\sqrt p}.$$ また、$C_2$ が下辺 $y=0$ と交わる正方形内の点は $x=1-1/\sqrt q$ である。したがって、$C_2$ の下側にある正方形の部分は $1-1/\sqrt q\le x\le1$ の範囲にあり、 $$\displaystyle S_2=\int_{1-1/\sqrt q}^1\{1-q(x-1)^2\}\,dx=\frac{2}{3\sqrt q}.$$ よって $\displaystyle q=\dfrac{p}{p-1}$ を用いると $$\displaystyle S=S_1+S_2=\frac23\left(\frac1{\sqrt p}+\sqrt{\frac{p-1}{p}}\right)=\frac{2}{3\sqrt p}\left(1+\sqrt{p-1}\right).$$

(3) $p\to\infty$ のとき $1/\sqrt p\to0$、$\sqrt{(p-1)/p}\to1$ だから、 $$\displaystyle \lim\limits _{p\to\infty}S=\frac23.$$

(4) $t=1/\sqrt p$ とおくと $0<t<1$ であり、 $$\displaystyle S=\frac23\left(t+\sqrt{1-t^2}\right).$$ ここで $$(t-\sqrt{1-t^2})^2\ge0$$ より $(t+\sqrt{1-t^2})^2\le2$ である。したがって $S\le2\sqrt2/3$。等号は $t=\sqrt{1-t^2}$、すなわち $t=1/\sqrt2$ のときに成り立つ。このとき $p=2$ であるから、$S$ は $p=2$ で最大となり、その最大値は $2\sqrt2/3$ である。