1岐阜大学 2010年 数学 第1問解答・解説

分母 x^3+1, x^3+2 は x>0 で正である。したがって (*) は $$(x+2b+d)(x^3+1)-(x+b)(x^3+2)>0\qquad(x>0)$$ と同値であり、左辺を整理すると $$F(x)=(b+d)x^3-x+d>0\qquad(x>0)$$ となる。

(1) b+d$\leq$0 と仮定すると、F(x)$\leq$ -x+d である。x>d となる正の x を取れば F(x)<0 となり矛盾する。よって b+d>0。

(2) x$\to$0+ のとき F(x)$\to$ d なので、d<0 なら十分小さい正の x で F(x)<0 となる。また d=0 なら F(x)=x(bx^2-1) であり、十分小さい正の x を取れば bx^2<1 となって F(x)<0 である。したがって d>0。

(3) d>0 とし A=b+d とおく。A$\leq$0 なら x>d に対し F(x)$\leq$ -x+d<0 だから、A>0 が必要である。A>0 のとき $$F'(x)=3Ax^2-1$$ は x_0=1/$\sqrt{3A}$ で 0 となり、F は 0<x<x_0 で減少し $x>x_0$ で増加する。よって正の実数全体での最小値は $$\displaystyle F(x_0)=d-\frac{2}{3\sqrt{3A}}.$$ 条件 (*) が成り立つための必要十分条件はこの値が厳密に正であること、すなわち $$\displaystyle d>\frac{2}{3\sqrt{3A}} \quad\text{すなわち}\quad A>\frac{4}{27d^2} \quad\text{すなわち}\quad b>\frac{4}{27d^2}-d$$ である。等号では x=x_0 で F(x_0)=0 となり、もとの不等式は等号を含まない不等号なので成立しない。