4岐阜大学 2010年 数学 第4問解答・解説

以下では、原文の $\log x$ は自然対数を表す。

(1)　 $y=\log x$ の導関数は $1/x$ だから、点 $(p,\log p)$ における接線は $$\displaystyle \ell_p:\quad y-\log p=\frac1p(x-p),\qquad\text{すなわち}\qquad y=\frac{x}{p}+\log p-1.$$

(2)　 接線の $x$ 切片は $u=p(1-\log p)$、$y$ 切片は $\log p-1$ である。$0<p<1$ では $u>0$ かつ $\log p-1<0$ なので、囲まれた図形は直角三角形で、その面積は $$\displaystyle S(p)=\frac12p(1-\log p)^2.$$ 微分すると $$\displaystyle S'(p)=\frac12\{(\log p)^2-1\}.$$ $0<p<e^{-1}$ では $\log p<-1$ なので $S'(p)>0$、$e^{-1}<p<1$ では $-1<\log p<0$ なので $S'(p)<0$ である。したがって最大値をとるのはただ1つ $p=e^{-1}$ のときであり、 $$\displaystyle S(e^{-1})=\frac12e^{-1}(1+1)^2=\frac2e.$$

(3)　 接線の $x$ 切片を $u=p(1-\log p)$ とする。$u-p=-p\log p>0$ なので $u>p$ である。また $u'(p)=-\log p>0$（$0<p<1$）かつ $u(1)=1$ より $u<1$ である。曲線と接線は $x=p$ で交わり、$p\le x\le1$ では $$\displaystyle \log x-\left(\log p+\frac{x-p}{p}\right)\le0$$ である。実際、左辺は $x=p$ で0、導関数 $1/x-1/p\le0$ だからである。よって $p\le x\le u$ では曲線が接線より下にあり、$u\le x\le1$ では曲線が $x$ 軸の下にある。回転体の体積は、円環部分と円板部分を分けて $$\displaystyle V=\pi\left\{\int_p^u(\log x)^2\,dx-\int_p^u\left(\log p+\frac{x-p}{p}\right)^2\,dx+\int_u^1(\log x)^2\,dx\right\} =\pi\left\{\int_p^1(\log x)^2\,dx-\int_p^u\left(\log p+\frac{x-p}{p}\right)^2\,dx\right\}.$$ ここで $t=-\log p>0$ とおくと $u=p(1+t)$ であり、$x=p(1+v)$（$0\le v\le t$）と置換すれば $$\displaystyle \int_p^u\left(\log p+\frac{x-p}{p}\right)^2dx =p\int_0^t(v-t)^2,dv=\frac{pt^3}{3}.$$ また $\displaystyle \int(\log x)^2dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}$ より $$\displaystyle \int_p^1(\log x)^2dx=2-p(t^2+2t+2).$$ したがって $$\displaystyle V=\pi\left\{2-p\left(2+2t+t^2+\frac{t^3}{3}\right)\right\} =\pi\left\{2-p\left(2-2\log p+(\log p)^2-\frac{(\log p)^3}{3}\right)\right\}.$$