3岐阜大学 2010年 数学 第3問解答・解説

位置ベクトルを$x\vec a+y\vec b+z\vec c$と表す。$D=(1/3,0,0),E=(0,1/2,0),F=(0,1/3,2/3)$だから、3点の属する平面は$6x+4y+z=2$である。

(1) $G=(1-t,0,t)$とおくと$6(1-t)+t=2$より$t=4/5$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac15\vec a+\frac45\vec c.$$ (2) $H=(0,0,t)$を代入すると$t=2$。$H$は$OC$を$C$の先へ延長した点で、$OH=2OC$、$CH=OC$。よって$OC:CH=1:1$。

(3) 四面体の体積を$[\ ]$で表す。$G$は線分$HD$上、$F$は線分$HE$上にある。実際、 $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac35\overrightarrow{OD}+\frac25\overrightarrow{OH},\quad \overrightarrow{OF}=\frac23\overrightarrow{OE}+\frac13\overrightarrow{OH}.$$ したがって四面体$HODE$を平面$ABC$で切ると、$H$側の小四面体が$HCFG$であり、残りは切断された$O,C$側の立体である。 底面$ODE$と$OAB$は同じ平面上にあり、面積比は$OD/OA\times OE/OB=1/6$。$H$のこの平面からの高さは$C$の高さの2倍なので $$\displaystyle \frac{[HODE]}{[OABC]}=\frac16\cdot2=\frac13.$$ また、底面$CFG$と$CAB$の面積比は$CF/CB\times CG/CA=1/15$。$CH=CO$より$H$と$O$から平面$ABC$までの高さは等しい。よって $$\displaystyle \frac{[HCFG]}{[OABC]}=\frac1{15}.$$ ゆえに$O,C$側の体積は全体の$1/3-1/15=4/15$、他方は$11/15$であり、求める比は$4:11$である。