3名古屋大学 2001年 数学 第3問解答・解説

$\mathbf u=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf v=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf w=\overrightarrow{OC}$ とおく。

(1) $A'$ は直線 $OA$ 上にあるので $\overrightarrow{OA'}=t\mathbf u$ と書ける。また $A'$ は直線 $BC$ 上にあるので、$x+y=1$ を満たす実数 $x,y$ を用いて $\overrightarrow{OA'}=x\mathbf v+y\mathbf w$ と表せる。条件 $$\alpha\mathbf u+\beta\mathbf v+\gamma\mathbf w=\mathbf0$$ から $\mathbf u=-(\beta/\alpha)\mathbf v-(\gamma/\alpha)\mathbf w$。係数を比べると $x=-t\beta/\alpha$、$y=-t\gamma/\alpha$ である。$x+y=1$ より $t=-\alpha/(\beta+\gamma)$、したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OA'}=-\frac{\alpha}{\beta+\gamma}\overrightarrow{OA}.$$

(2) 同様に $$\displaystyle \overrightarrow{OB'}=-\frac{\beta}{\gamma+\alpha}\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{OC'}=-\frac{\gamma}{\alpha+\beta}\overrightarrow{OC}.$$ $O$ は $ABC$ の外心なので $|OA|=|OB|=|OC|$。また $O$ が $A'B'C'$ の外心であることから $|OA'|=|OB'|=|OC'|$。よって $$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta+\gamma}=\frac{\beta}{\gamma+\alpha}=\frac{\gamma}{\alpha+\beta}.$$ 最初の2つを等しいとすると $$\alpha(\gamma+\alpha)=\beta(\gamma+\beta),\qquad (\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)=0.$$ 正数の和は0でないから $\alpha=\beta$。同様に $\beta=\gamma$ も得られ、$\alpha=\beta=\gamma$。