I慶應義塾大学 2008年 数学 第I問解答・解説

(1) $O_2$ は中心 $(-1,2)$、半径 $\sqrt{\alpha+5}$ の円で、中心間距離は $\sqrt5$。2点で交わる条件は $\sqrt5-1<\sqrt{\alpha+5}<\sqrt5+1$。二乗して整理すると $1-2\sqrt5<\alpha<1+2\sqrt5$。2式を引くと $2x-4y+1-\alpha=0$ なので $\displaystyle y=\frac{x}{2}+\frac{1-\alpha}{4}$。 (2) 弦 $AB$ から円の中心までの距離は $\displaystyle \sqrt{1-\frac{r^2}{4}}$。円周上の $P$ が作る最大の高さは $\displaystyle 1+\sqrt{1-\frac{r^2}{4}}$ だから、面積は $\displaystyle \frac r2\left(1+\sqrt{1-\frac{r^2}{4}}\right)$。$\displaystyle t=\frac r2$ とおくと面積は $g(t)=t(1+\sqrt{1-t^2})$。$u=\sqrt{1-t^2}$ とすれば $\displaystyle g'(t)=\frac{(u+1)(2u-1)}{u}$。よって増加から減少へ変わるのは $\displaystyle u=\frac12$、すなわち $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}{2}$、$r=\sqrt3$ の点である。面積は $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{4}$。端では $t\to0$ の面積は0、$t=1$ では1なので、これが最大。 (3)(i) 分母を払って係数比較すると $a+b=0,\ b+c=1,\ a+c=-1$。従って $a=-1,b=1,c=0$。 (3)(ii) 符号付き分数は $\displaystyle -\frac1{x+1}+\frac{x}{x^2+1}$。$0$から$1$ではその符号が負、$1$から$\infty$では正である。絶対値積分を分けると各区間の値は $\displaystyle \frac{\ln2}{2}$ ずつとなる（原始関数は符号付きで $\displaystyle -\ln(x+1)+\frac12\ln(x^2+1)$）。従って極限は $\ln2$。