IV慶應義塾大学 2008年 数学 第IV問解答・解説

（1） 漸化式を順に用いると， $$\begin{aligned} f_2(x)&=2x^2-1,\\ f_3(x)&=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x,\\ f_4(x)&=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-8x^2+1,\\ f_5(x)&=2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x)\\ &=16x^5-20x^3+5x. \end{aligned}$$ したがって $$f_5(x)=x(16x^4-20x^2+5).$$ $u=x^2$ とおくと，二次方程式 $$16u^2-20u+5=0$$ の解は $$\displaystyle u=\frac{20\pm\sqrt{400-320}}{32}=\frac{5\pm\sqrt5}{8}$$ である。いずれも正なので，$f_5(x)=0$ の解は $$\displaystyle x=0,\quad x=\pm\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{8}},\quad x=\pm\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{8}}.$$

（2） $f_0(\cos\theta)=1=\cos 0$，$f_1(\cos\theta)=\cos\theta$ である。$n\geq1$ について $f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$，$f_{n-1}(\cos\theta)=\cos((n-1)\theta)$ が成り立つと仮定すると，漸化式と加法定理より $$\begin{aligned} f_{n+1}(\cos\theta) &=2\cos\theta\,f_n(\cos\theta)-f_{n-1}(\cos\theta)\\ &=2\cos\theta\cos n\theta-\cos((n-1)\theta)\\ &=\cos((n+1)\theta). \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により，すべての $n=1,2,\ldots$ について $$f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$$ が成り立つ。

（3） （2）より $$\displaystyle f_5\!\left(\cos\frac{\pi}{10}\right)=\cos\frac{5\pi}{10}=0, \qquad f_5\!\left(\cos\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\frac{15\pi}{10}=0.$$ $0<\pi/10<3\pi/10<\pi/2$ だから，両者は異なる正の根であり，余弦はこの区間で減少するので $\cos(\pi/10)>\cos(3\pi/10)$ である。（1）で得た二つの正の根のうち大きい方が $\cos(\pi/10)$ だから， $$\displaystyle \cos\frac{\pi}{10}=\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{8}} =\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}.$$ 実際，$u=(5+\sqrt5)/8$ は $16u^2-20u+5=0$ を満たすため，この値は（1）の五次式の根の一つである。

（4） $-1<x<1$ に対し，$x=\cos\theta$ を満たす $\theta$ は $0<\theta<\pi$ の範囲にただ一つ存在する。（2）から $$f_n(x)=\cos(n\theta).$$ 余弦のグラフは引数が $2k\pi$（整数 $k$）のとき局所的に最大となり，その値は $1$ である。したがって，この範囲で極大値をとるための条件は $$0<\theta<\pi,\qquad n\theta=2k\pi.$$ $n$ は3以上の奇数なので，これを満たす整数は $k=1,2,\ldots,(n-1)/2$ である。よって極大値は $1$，その極大値をとるすべての $x$ は $$\displaystyle x=\cos\frac{2k\pi}{n}\qquad\left(k=1,2,\ldots,\frac{n-1}{2}\right)$$ である。$k=0$ は $x=1$ に当たり定義域から除かれ，列挙した各点は $0<2k\pi/n<\pi$ を満たすので，すべて定義域内にある。