2筑波大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) $$\displaystyle t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right).$$ $\displaystyle -\frac\pi4<\theta+\frac\pi4<\frac{3\pi}4$ である。この範囲で正弦の値は左端での値 $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}$ に近づくが端点は含まず、最大値1は内部でとる。したがって $-1<t\le\sqrt2$。

(2) $t^2=1+2\sin\theta\cos\theta$ より $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}$。よって$$\displaystyle \begin{aligned}\sin^3\theta+\cos^3\theta&=(\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\\&=t^3-\frac32t(t^2-1)=\frac{3t-t^3}{2}.\end{aligned}$$ また $\sin2\theta=t^2-1$ だから$$\cos4\theta=1-2\sin^22\theta=1-2(t^2-1)^2.$$

(3) (2)の2式を等しいとおくと$$\displaystyle \frac{3t-t^3}{2}=1-2(t^2-1)^2.$$両辺を2倍し、展開・移項すると、これは$$4t^4-t^3-8t^2+3t+2=0$$と同値である。 因数分解して$$(t-1)^2(4t^2+7t+2)=0,$$よって $t=1$ または $\displaystyle t=\frac{-7\pm\sqrt{17}}8$。範囲 $-1<t\le\sqrt2$ に入るのは $1$ と $\displaystyle \frac{-7+\sqrt{17}}8$ である。