5筑波大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) $\alpha=\pi/n$、$\beta=\pi/(2n)$、$\delta=\alpha-\beta=\pi/(2n)$ とおく。$P=(\cos\alpha,\sin\alpha)$、$Q=(\cos\beta,\sin\beta)$ である。直線 $AP$ の傾きは $$\displaystyle \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan\frac\alpha2,$$ 同様に $AQ$ の傾きは $\tan(\beta/2)$。直線 $x=2$ 上での高さはそれぞれ $3\tan(\alpha/2)$、$3\tan(\beta/2)$ となる。$S(n)$ と $T(n)$ は三角形 $AVW$ を弧 $PQ$ で分けた二領域なので、和は三角形の面積である。 $$\displaystyle S(n)+T(n)=\frac92\left(\tan\frac\alpha2-\tan\frac\beta2\right).$$ したがって $\tan u/u\to1$ を用いれば $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n(S(n)+T(n))=\frac92\left(\frac\pi2-\frac\pi4\right)=\frac{9\pi}{8}.$$

(2) $AP=2\cos(\alpha/2)$、$AQ=2\cos(\beta/2)$ で、両直線のなす角は $\delta/2$。よって三角形 $APQ$ の面積は $$\displaystyle 2\cos\frac\alpha2\cos\frac\beta2\sin\frac\delta2.$$ 弦 $PQ$ と短い弧 $PQ$ の間の円弧部分の面積は、中心角 $\delta$ の扇形から三角形 $OPQ$ を引いた $(\delta-\sin\delta)/2$ である。したがって $$\displaystyle S(n)=2\cos\frac\alpha2\cos\frac\beta2\sin\frac\delta2+\frac{\delta-\sin\delta}{2}, \qquad \frac{S(n)}\delta\longrightarrow1.$$ 一方、$\alpha/2=\delta$、$\beta/2=\delta/2$ なので $$\displaystyle \frac{S(n)+T(n)}\delta=\frac92\frac{\tan\delta-\tan(\delta/2)}\delta\longrightarrow\frac94.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{T(n)}{S(n)}=\frac{S(n)+T(n)}{S(n)}-1\longrightarrow\frac94-1=\frac54.$$