5京都大学 2005年 数学 第5問解答・解説

(1) $F(x)=(1+x^2)\cos x-(1-x^2)$ とおく。$F(2k\pi)=2(2k\pi)^2>0$、$F((2k+1)\pi)=-2<0$ なので、中間値の定理から区間内部に共有点 $a$ がある。交点では $$\displaystyle \cos a=\frac{1-a^2}{1+a^2},\qquad \sin a=\frac{2a}{1+a^2}>0.$$ 曲線 $y=\cos x$ の接線は $y=\cos a-\sin a(x-a)=-\sin a\,x+1$ で、$(0,1)$ を通る。

(2) 共有点の方程式を半角公式で変形すると $$\displaystyle x^2\cos^2\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}.$$ 区間内部では $x>0$、$\tan(x/2)>0$ なので、これは $\tan(x/2)=x$ と同値。$G(x)=\tan(x/2)-x$ とおくと $$\displaystyle G'(x)=\frac12\sec^2\frac{x}{2}-1.$$ $k\pi<x/2<k\pi+\pi/2$ では $\sec^2(x/2)$ はx が大きくなると値は必ず大きくなり、$G'$ は左端極限 $-1/2$ から右端で $+\infty$ へ増加する。従って $G$ は一度減少した後に増加する。左端で $G(2k\pi)=-2k\pi<0$、右端極限は $+\infty$ なので、零点はただ1つ。

符号変化で交点の存在を示し、交点関係を半角公式から$\tan(x/2)=x$へ変換する。導関数が一度だけ符号を変えることと端点値から一意性を結論する。