1京都大学 2005年 数学 第1問解答・解説

線分 $L$ は $xy$ 平面上の原点と点 $(1,2)$ を結ぶ（両端を含む）。曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点をもつような実数の組 $(a,b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ。

解答

線分 $L$ 上の点は $(x,2x)$（$0\le x\le1$）と表せる。曲線との共有点がある条件は、$0\le x\le1$ を満たすある $x$ について $$x^2+ax+b=2x, \quad\text{すなわち}\quad b=\phi_a(x):=-x^2+(2-a)x$$ となることである。よって、各 $a$ に対し $b$ は $\phi_a$ の $0\le x\le1$ の範囲の値域を動く。

$\phi_a$ は係数が $-1$ の二次関数で、頂点の $x$ 座標は $1-a/2$、端点の値は $\phi_a(0)=0,\ \phi_a(1)=1-a$ である。これらを比べると、求める集合は $$\begin{cases} 0\le b\le1-a,&a\le0,\\ 0\le b\le(2-a)^2/4,&0\le a\le1,\\ 1-a\le b\le(2-a)^2/4,&1\le a\le2,\\ 1-a\le b\le0,&a\ge2. \end{cases}$$ である。すなわち下側境界は $b=0$（$a\le1$）と $b=1-a$（$a\ge1$）、上側境界は $b=1-a$（$a\le0$）、$b=(2-a)^2/4$（$0\le a\le2$）、$b=0$（$a\ge2$）からなる。境界を含む。