3京都大学 2005年 数学 第3問解答・解説

$\alpha,\beta,\gamma$ は相異なる。もし $\alpha=0$ なら、$\alpha+\beta+\gamma=0$ から $\gamma=-\beta$ であり、$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$ は $2\beta^2=0$ となる。これは3数が相異なることに反するので、$\alpha\ne0$。

$\gamma=-\alpha-\beta$ を二乗和の条件に代入すると $$2(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=0.$$ $t=\beta/\alpha$ と置けば $t^2+t+1=0$。$\omega=(-1+i\sqrt3)/2$ とすると、その根は $\omega,\omega^2$ なので、$\{\alpha,\beta,\gamma\}=\{\alpha,\omega\alpha,\omega^2\alpha\}$ である。

$|\omega|=1$ および $|1-\omega|=|1-\omega^2|=|\omega-\omega^2|=\sqrt3$ より、3点間の距離はすべて $\sqrt3|\alpha|$ で等しい。したがって三角形は正三角形である。

複素数の和の条件でγを消去し、二次方程式から点の位置を1の虚数立方根による回転像として表す。各辺の長さが等しいことを複素数の絶対値で示す。