2東京医科歯科大学 2005年 数学 第2問解答・解説

(1) $\sin 2\theta>0$ となる区間と $\sin 3\theta>0$ となる区間をそれぞれ求める。 $$\displaystyle \sin 2\theta>0\text{ となる範囲は }0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\text{ または }\pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2},$$ $$\displaystyle \sin 3\theta>0\text{ となる範囲は }0<\theta<\tfrac{\pi}{3}\text{ または }\tfrac{2\pi}{3}<\theta<\pi\text{ または }\tfrac{4\pi}{3}<\theta<\tfrac{5\pi}{3}.$$ $0\leq\theta\leq2\pi$ で共通部分を取ると $$\displaystyle \boxed{0<\theta<\tfrac{\pi}{3}\text{ または }\tfrac{4\pi}{3}<\theta<\tfrac{3\pi}{2}}.$$

(2) $|\sin 2\theta|=1$ は $\displaystyle \theta=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}$ を与え、指定区間では $\displaystyle \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}$ である。また、$|\sin 3\theta|=1$ は $\displaystyle \theta=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3}$ を与え、指定区間では $\displaystyle \tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6}$ である。したがって $$\displaystyle \boxed{\theta=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6}}.$$

(3) (1)で求めた二つの範囲 $\displaystyle 0<\theta<\tfrac{\pi}{3}$、$\displaystyle \tfrac{4\pi}{3}<\theta<\tfrac{3\pi}{2}$ を、それぞれ範囲A、範囲Bと呼ぶ。$\theta_1,\theta_2$ がともに $A$ にあると、角 $2\theta_1<2\theta_2$ と $3\theta_1<3\theta_2$ はいずれも0より大きく$\pi$より小さく、同じ正弦値となるためにはそれぞれの角の和が $\pi$ でなければならない。よって $\displaystyle \theta_1+\theta_2=\tfrac{\pi}{2}$ と $\displaystyle \theta_1+\theta_2=\tfrac{\pi}{3}$ が同時に必要となり、矛盾する。ともに $B$ にあると、$\displaystyle 0<3\theta-4\pi<\tfrac{\pi}{2}$ では正弦が単調増加するので、$\sin3\theta_1=\sin3\theta_2$ は $\theta_1=\theta_2$ を導き、これも矛盾する。したがって $\theta_1$は範囲A、$\theta_2$は範囲Bにある。

$$\displaystyle \alpha_1=2\theta_1\quad(0<\alpha_1<\tfrac{2\pi}{3}),\qquad \alpha_2=2\theta_2-2\pi\quad(\tfrac{2\pi}{3}<\alpha_2<\pi)$$ とおくと、$\sin\alpha_1=\sin\alpha_2$ かつ $\alpha_1<\alpha_2$ より $\alpha_1+\alpha_2=\pi$、すなわち $\displaystyle \theta_1+\theta_2=\tfrac{3\pi}{2}$ である。また $$\displaystyle \beta_1=3\theta_1\quad(0<\beta_1<\pi),\qquad \beta_2=3\theta_2-4\pi\quad(0<\beta_2<\tfrac{\pi}{2})$$ とおくと、同じ正弦値を持つ条件は $\beta_1=\beta_2$ または $\beta_1+\beta_2=\pi$ である。後者は $\displaystyle \theta_1+\theta_2=\tfrac{5\pi}{3}$ を与えて矛盾するので、$\beta_1=\beta_2$、すなわち $\displaystyle \theta_2-\theta_1=\tfrac{4\pi}{3}$ となる。和と差を解いて $$\displaystyle \boxed{(\theta_1,\theta_2)=(\tfrac{\pi}{12},\tfrac{17\pi}{12})}.$$ 実際、両条件で $\displaystyle \sin2\theta_1=\sin2\theta_2=\tfrac12$、$\displaystyle \sin3\theta_1=\sin3\theta_2=\tfrac{\sqrt2}{2}>0$ である。

(4) $0\leq u<v\leq2\pi$ とする。正弦の一致条件から $$\displaystyle \sin2u=\sin2v\text{ の必要十分条件は } v-u=k\pi\ \text{または}\ u+v=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, \qquad \sin3u=\sin3v\text{ の必要十分条件は } v-u=\tfrac{2m\pi}{3}\ \text{または}\ u+v=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{2m\pi}{3},$$ ただし $k,m$ は整数である。

両方が差の条件の場合、$\displaystyle k\pi=\tfrac{2m\pi}{3}$ より、範囲内の正の差は $v-u=2\pi$ のみである。このとき $(u,v)=(0,2\pi)$ で像は $(0,0)$。$\sin2$ が差、$\sin3$ が和の条件の場合、$v-u=k\pi$、$\displaystyle u+v=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{2m\pi}{3}$ である。$k=1$ から $$\displaystyle (u,v)=(0,\pi),\ (\tfrac{\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}),\ (\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}),\ (\pi,2\pi)$$ を得る。$k=2$ では $(u,v)=(0,2\pi)$ だが和の条件を満たさない。これらの像は $\displaystyle (0,0),(\tfrac{\sqrt3}{2},0),(-\tfrac{\sqrt3}{2},0),(0,0)$ である。

$\sin2$ が和、$\sin3$ が差の条件の場合は $\displaystyle u+v=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$、$\displaystyle v-u=\tfrac{2m\pi}{3}$ であり、範囲を満たす組は $$\displaystyle \begin{array}{c|c} (u,v)&(\sin2u,\sin3u)\\ \hline (\tfrac{\pi}{12},\tfrac{17\pi}{12})&(\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2})\\ (\tfrac{5\pi}{12},\tfrac{13\pi}{12})&(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt2}{2})\\ (\tfrac{7\pi}{12},\tfrac{23\pi}{12})&(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt2}{2})\\ (\tfrac{11\pi}{12},\tfrac{19\pi}{12})&(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}) \end{array}$$ である。両方が和の条件の場合は $\displaystyle \tfrac{\pi}{2}+k\pi=\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{2m\pi}{3}$、すなわち $1+6k=4m$ となり、整数解はない。

以上の相異なる自己交点は $$\displaystyle \boxed{(0,0),\quad(\pm\tfrac{\sqrt3}{2},0),\quad(\pm\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt2}{2})}$$ である（最後の符号は独立）。原点は複数の媒介変数の組から得られるが同一点なので1点と数え、合計は $\boxed{7}$ 点。