2山口大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1)　 x=2$\theta$-$\sin$$\theta$,　 y=2-$\cos$$\theta$ より、 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$=2-$\cos$$\theta$,　　 $\displaystyle \frac{dy}{d\theta}$=$\sin$$\theta$. (2)　 -1$\le$$\cos$$\theta$$\le$1 より、 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$=2-$\cos$$\theta$$\ge$1>0. したがって、$\theta$ が増加すると x は単調に増加する。また、 x(0)=0,　　 x(2$\pi$)=4$\pi$ なので、x のとる値の範囲は 0$\le$ x$\le$4$\pi$ である。 (3)　 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$>0 であるから、 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$=$\displaystyle \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$=$\displaystyle \frac{\sin\theta}{2-\cos\theta}$. (4)　 2-$\cos$$\theta$>0 なので、$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ の符号は $\sin$$\theta$ の符号と一致する。 0<$\theta$<$\pi$ では $\sin$$\theta$>0、$\pi$<$\theta$<2$\pi$ では $\sin$$\theta$<0 である。さらに x(0)=0,　　 x($\pi$)=2$\pi$,　　 x(2$\pi$)=4$\pi$ だから、 y=f(x) は 0$\le$ x$\le$2$\pi$ で増加し、 2$\pi$$\le$ x$\le$4$\pi$ で減少する。各端点での値は f(0)=1, f(2$\pi$)=3, f(4$\pi$)=1 である。 (5)　 0$\le$$\theta$$\le$2$\pi$ では y=2-$\cos$$\theta$$\ge$1>0 であり、$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$>0 だから、求める面積 S は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{4\pi} y\,dx=\int_0^{2\pi}(2-\cos\theta)\frac{dx}{d\theta}\,d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(2-\cos\theta)^2\,d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(4-4\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta\\ &=8\pi+0+\pi=9\pi. \end{aligned}$$ よって、面積は $\boxed{9\pi}$ である。