5北海道大学 2014年 数学 第5問解答・解説

$g(t)=|\sin t|$ は連続である。$\displaystyle G(u)=\int_0^u g(t)\,dt$ とおくと、微積分の基本定理から $G'(u)=g(u)$ であり、$f(x)=G(x+\pi/3)-G(x)$ だから、 $$\displaystyle f'(x)=\left|\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right|-|\sin x|.$$

次に、$0\le x\le\pi$ では$\sin x\ge0$であり、$x+\pi/3$ が$\pi$を越えるのは$x>2\pi/3$のときである。したがって $$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_x^{x+\pi/3}\sin t\,dt=\cos x-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right),&0\le x\le\frac{2\pi}{3},\\[4pt]\displaystyle\int_x^\pi\sin t\,dt+\int_\pi^{x+\pi/3}(-\sin t)\,dt=2+\cos x+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2+\sqrt3\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right),&\frac{2\pi}{3}\le x\le\pi.\end{cases}$$ 前半では$f'(x)=\cos(x+\pi/6)$なので、$x=\pi/3$で増加から減少に変わり、$f(\pi/3)=1$。後半では$f'(x)=-\sqrt3\sin(x+\pi/6)$であり、$2\pi/3<x<5\pi/6$では負、$5\pi/6<x<\pi$では正である。よって後半の最小値は$x=5\pi/6$で取り、$f(5\pi/6)=2-\sqrt3$。端点と境界では$f(0)=f(2\pi/3)=f(\pi)=1/2$だから、これらを比べて全区間の最大値は$1$、最小値は$2-\sqrt3$である。