2北海道大学 2014年 数学 第2問解答・解説

解答

座標を $O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)$ とおく。$OA,OB,OC$ は互いに垂直で長さ $1$ なので、この設定ができる。$P=(p,0,0)$、$Q=(0,q,0)$ と書くと、$P,Q$ がそれぞれ $OA,OB$ 上にあり $pq=1/2$ であることから $$0<p,q\le1.$$

(1) $t=p+q$ とする。まず $$t^2-2=(p-q)^2\ge0$$ より $t\ge\sqrt2$。また $$\displaystyle \frac32-t=(1-p)(1-q)\ge0$$ だから $t\le3/2$ である。

この区間内のすべての値が実現することも確かめる。$\sqrt2\le t\le3/2$ を満たすすべての$t$に対して、 $$\displaystyle X^2-tX+\frac12=0$$ の判別式は $t^2-2\ge0$ である。2つの解は和が $t>0$、積が $1/2>0$ なので、ともに正である。大きい方の解 $$\displaystyle r=\frac{t+\sqrt{t^2-2}}2$$ は $r\le1$ である。実際、$2-t\ge0$ かつ $$(2-t)^2-(t^2-2)=6-4t\ge0$$ より $\sqrt{t^2-2}\le2-t$ である。小さい方の解も正で $r$ 以下だから、2解とも0より大きく1以下である。これらを $p,q$ とすれば、辺上の条件と $pq=1/2, p+q=t$ を満たす。したがって $$\displaystyle \boxed{\sqrt2\le t\le\frac32}.$$

(2) $CP^2=1+p^2$、$CQ^2=1+q^2$、$PQ^2=p^2+q^2$ である。$\theta=\angle PCQ$ とおくと、三角形 $CPQ$ の余弦定理から $$\displaystyle CP\,CQ\cos\theta =\frac{CP^2+CQ^2-PQ^2}{2}=1.$$ よって面積 $S$ は $$\displaystyle \begin{aligned} S^2 &=\frac14(CP\,CQ)^2\sin^2\theta\\ &=\frac14\left((CP\,CQ)^2-(CP\,CQ\cos\theta)^2\right)\\ &=\frac14\left((1+p^2)(1+q^2)-1\right)\\ &=\frac14\left(p^2+q^2+p^2q^2\right). \end{aligned}$$ ここで $p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=t^2-1$、$p^2q^2=1/4$ だから $$\displaystyle \boxed{S=\frac12\sqrt{t^2-\frac34}}.$$

(3) $t\ge\sqrt2>0$ なので $t^2-3/4$ は $t$ とともに増加する。したがって $S$ は最小の許容値 $t=\sqrt2$ で最小となる。このとき $$t^2-2=(p-q)^2=0$$ より $p=q$。$pq=1/2$ と合わせて $p=q=1/\sqrt2$ であり、 $$\displaystyle \boxed{S_{\min}=\frac12\sqrt{2-\frac34}=\frac{\sqrt5}{4}},\qquad \boxed{(p,q)=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)}.$$