(1)f′(x)=4x3−12x2−16x=4x(x+1)(x−4).f′(x)の符号はx<−1, −1<x<0, 0<x<4, x>4の順に−,+,−,+である。したがってx=−1,4で極小、x=0で極大となる。f(−1)=−3,f(0)=0,f(4)=−128.よって極大値は0 (x=0)、極小値は−3 (x=−1)および−128 (x=4)である。(2)x=tにおける接線はy=f′(t)x+{f(t)−tf′(t)}である。これがa<bの2点で同じ直線となる条件はf′(a)=f′(b),f(a)−af′(a)=f(b)−bf′(b)である。f′(a)−f′(b)=4(a−b){a2+ab+b2−3(a+b)−4}=0かつa=bよりa2+ab+b2−3(a+b)−4=0.f(x)−xf′(x)=−3x4+8x3+8x2なので、切片の一致条件は(a−b){−3(a3+a2b+ab2+b3)+8(a2+ab+b2)+8(a+b)}=0.a=bより、この式の中括弧も0である。p=a+b,q=abとおくと、p2−q−3p−4=0,−3p3+6pq+8p2−8q+8p=0.q=p2−3p−4を代入すると3p3−18p2+8p+32=(p−2)(3p2−12p−16)=0.p=2またはp=2±3221である。a,bはz2−pz+q=0の2根だから、(a−b)2=p2−4q=−3p2+12p+16.p=2±3221のとき(a−b)2=0となるので、a<bに反する。したがってp=2, q=−6であり、a,bはz2−2z−6=0の2根だからa=1−7,b=1+7.x=1+uとおくとf′(1+u)=4u3−28u−24であり、u=±7で傾きは−24.f(1+u)=u4−14u2−24u−11よりu=±7でf(1+u)=−60−24u.直線y=−24x−36はx=1+uでy=−60−24uを満たす。よって求める共通接線はy=−24x−36である。
