2徳島大学 2020年 数学 第2問解答・解説

曲線Cの接線の傾きは$y'=2x$よりPで$2t$である。したがって法線の傾きは$\displaystyle -\frac{1}{2t}$であり、$\ell$の方程式は$$\displaystyle y-t^2=-\frac{1}{2t}(x-t),\quad x+2ty=t+2t^3.$$

(2)　 Qのx座標をsとすると、$Q=(s,s^2)$であり、$Q$は$\ell$上にあるから$$\displaystyle s^2=t^2-\frac{s-t}{2t}.$$これを整理すると$$(s-t)(2ts+2t^2+1)=0.$$P以外の交点なので$\displaystyle s=-t-\frac{1}{2t}$である。よって$$\displaystyle |s-t|=2t+\frac{1}{2t}=\frac{4t^2+1}{2t},\quad |s+t|=\frac{1}{2t}.$$放物線上の2点の距離は$PQ=|s-t|\sqrt{1+(s+t)^2}$だから、$$\displaystyle PQ=\frac{4t^2+1}{2t}\sqrt{1+\frac{1}{4t^2}}=\frac{(4t^2+1)^{3/2}}{4t^2}.$$

(3)　 $u=4t^2$とおくと$u>0$であり、$$\displaystyle PQ^2=\frac{(u+1)^3}{u^2}.$$この右辺を$f(u)$とおけば、$$\displaystyle f'(u)=\frac{3(u+1)^2u^2-2u(u+1)^3}{u^4}=\frac{(u+1)^2(u-2)}{u^3}.$$$u>0$では分母と$(u+1)^2$が正なので、$0<u<2$で$f'(u)<0$、$u>2$で$f'(u)>0$となる。したがって$f$は$u=2$で最小となり、$$\displaystyle PQ=\sqrt{f(2)}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$$u=2$は$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$に当たる。