徳島大学 2020年数学第1問解答・解説

ベクトル

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1問題

徳島大学2020年度第1問

座標空間の4点 $A(0,3,2), B(2,-2,0), C(1,2,2), D(-1,-3,3)$ を頂点とする四面体 $ABCD$ がある。

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を $\theta$ として $\cos\theta$ を求めよ。

(2) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

(3) 3点 $A,B,C$ が定める平面を $\alpha$ とする。点 $D$ から平面 $\alpha$ に垂線 $DH$ を引くとき，点 $H$ の座標を求めよ。

(4) 四面体 $ABCD$ の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \frac7{\sqrt{66}}$ 。 (2) $\displaystyle \pm\frac1{\sqrt{17}}(2,2,-3)$ 。 (3) $H=(1,-1,0)$ 。 (4) $\displaystyle \frac{17}{6}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\overrightarrow{AB}=(2,-5,-2)$ , $\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)$ 、内積 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=7$ 、長さ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{33},\ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt2$ 。

垂直条件 $2x-5y-2z=0,\quad x-y=0$ から方向 $(2,2,-3)$ 。長さ $\sqrt{17}$ で正規化。

平面 $2x+2y-3z=0$ 、 $H=D+t(2,2,-3)$ 代入で $t=1$ 。底面積 $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2$ 、高さ $\sqrt{17}$ 、体積 $\displaystyle \frac{17}{6}$ 。

$\displaystyle (1)\quad \cos\theta=\frac{7}{\sqrt{66}}\qquad (2)\quad \pm\frac{1}{\sqrt{17}}(2,2,-3)\qquad (3)\quad H(1,-1,0)\qquad (4)\quad \frac{17}{6}$

この問題で使う考え方

内積
垂線の足
底面積と高さ

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