3信州大学 2020年 数学 第3問解答・解説

agraph{平面への反射} 法線を$n=(1,-2,2)$とすると、平面$\alpha$は $$x-2y+2z=9.$$ 点$B$から平面への垂線の足を$H$とする。$|n|^2=9$、$n\cdot B=18$より $$\displaystyle H=B-\frac{n\cdot B-9}{|n|^2}n=B-n=(3,0,3).$$ 反射の性質から$H$は$BC$の中点なので $$C=2H-B=(2,2,1).$$

agraph{三角形の面積} 座標から三辺の長さの二乗を求めると $$\begin{aligned} OC^2&=2^2+2^2+1^2=9,\\ BC^2&=(4-2)^2+(-2-2)^2+(5-1)^2=36,\\ OB^2&=4^2+(-2)^2+5^2=45. \end{aligned}$$ したがって$OC^2+BC^2=OB^2$であり、三平方の定理の逆から$\angle OCB=90^\circ$。よって直角をはさむ二辺の長さ$OC=3$、$BC=6$を用いて $$\displaystyle [OBC]=\frac12\cdot3\cdot6=9.$$

平面αの法線ベクトルは $\overrightarrow{OA}=(1,-2,2)$ である。したがってαの方程式は $$(x-1)-2(y+2)+2(z-2)=0,\quad\text{すなわち}\quad x-2y+2z=9.$$ $B$ をこの平面に正射影した点を $H$ とする。法線ベクトル $n=(1,-2,2)$ について $|n|^2=9$、$n\cdot B=18$ なので、$B$ から $\alpha$ までの法線方向の変位は $$\displaystyle \frac{n\cdot B-9}{|n|^2}n=n.$$ ゆえに $H=B-n=(3,0,3)$。反射では $H$ が $BC$ の中点だから、$C=2H-B=(2,2,1)$。

(2) 三辺の長さを座標から求める。 $$OC^2=2^2+2^2+1^2=9,\quad BC^2=(4-2)^2+(-2-2)^2+(5-1)^2=36,\quad OB^2=4^2+(-2)^2+5^2=45.$$ よって $OC^2+BC^2=OB^2$ である。三平方の定理の逆より $\angle OCB=90^\circ$。したがって、直角をはさむ二辺 $OC=3,\ BC=6$ を用いて、三角形 $OBC$ の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot3\cdot6=9.$$