平面 A B C ABC A B C x + y + z = 6 x+y+z=6 x + y + z = 6 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) H = P + λ ( 1 , 1 , 1 ) H=P+\lambda(1,1,1) H = P + λ ( 1 , 1 , 1 ) 2 t + 1 + 3 λ = 6 , λ = 5 − 2 t 3 . \displaystyle
2t+1+3\lambda=6,\qquad \lambda=\frac{5-2t}{3}. 2 t + 1 + 3 λ = 6 , λ = 3 5 − 2 t . H = ( t + 5 3 , t + 5 3 , 8 − 2 t 3 ) . \displaystyle
H=\left(\frac{t+5}{3},\frac{t+5}{3},\frac{8-2t}{3}\right). H = ( 3 t + 5 , 3 t + 5 , 3 8 − 2 t ) .
(1) 直線 C A CA C A ( 1 , 0 , − 1 ) (1,0,-1) ( 1 , 0 , − 1 ) C + u ( 1 , 0 , − 1 ) C+u(1,0,-1) C + u ( 1 , 0 , − 1 ) { P − C − u ( 1 , 0 , − 1 ) } ⋅ ( 1 , 0 , − 1 ) = 0 , \{P-C-u(1,0,-1)\}\cdot(1,0,-1)=0, { P − C − u ( 1 , 0 , − 1 )} ⋅ ( 1 , 0 , − 1 ) = 0 , t + 5 − 2 u = 0 t+5-2u=0 t + 5 − 2 u = 0 u = ( t + 5 ) / 2 u=(t+5)/2 u = ( t + 5 ) /2 Q = ( t + 5 2 , 0 , 7 − t 2 ) . \displaystyle
Q=\left(\frac{t+5}{2},0,\frac{7-t}{2}\right). Q = ( 2 t + 5 , 0 , 2 7 − t ) . R = ( 0 , t + 5 2 , 7 − t 2 ) . \displaystyle
R=\left(0,\frac{t+5}{2},\frac{7-t}{2}\right). R = ( 0 , 2 t + 5 , 2 7 − t ) . Q R QR QR M = ( t + 5 4 , t + 5 4 , 7 − t 2 ) \displaystyle
M=\left(\frac{t+5}{4},\frac{t+5}{4},\frac{7-t}{2}\right) M = ( 4 t + 5 , 4 t + 5 , 2 7 − t ) C − M C-M C − M Q R QR QR ( − 1 , 1 , 0 ) (-1,1,0) ( − 1 , 1 , 0 ) 0 0 0 M M M C C C Q R QR QR C C C Q R QR QR S = 2 M − C = ( t + 5 2 , t + 5 2 , 1 − t ) . \displaystyle
S=2M-C=\left(\frac{t+5}{2},\frac{t+5}{2},1-t\right). S = 2 M − C = ( 2 t + 5 , 2 t + 5 , 1 − t ) .
(2) a = ( t + 5 ) / 2 a=(t+5)/2 a = ( t + 5 ) /2 Q R , Q S , R S QR,QS,RS QR , QS , R S 2 a \sqrt2a 2 a △ Q R S \triangle QRS △ QR S 2 a \sqrt2a 2 a 3 a 2 / 2 \sqrt3a^2/2 3 a 2 /2 P P P A B C ABC A B C 6 − ( 2 t + 1 ) 3 = 5 − 2 t 3 > 0. \displaystyle
\frac{6-(2t+1)}{\sqrt3}=\frac{5-2t}{\sqrt3}>0. 3 6 − ( 2 t + 1 ) = 3 5 − 2 t > 0. V P Q R S = 1 3 ⋅ 3 a 2 2 ⋅ 5 − 2 t 3 = a 2 ( 5 − 2 t ) 6 = ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t ) 24 . \displaystyle
V_{PQRS}=\frac13\cdot\frac{\sqrt3a^2}{2}\cdot\frac{5-2t}{\sqrt3}
=\frac{a^2(5-2t)}6
=\frac{(t+5)^2(5-2t)}{24}. V P QR S = 3 1 ⋅ 2 3 a 2 ⋅ 3 5 − 2 t = 6 a 2 ( 5 − 2 t ) = 24 ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t ) .
(3) P A B C PABC P A B C P Q R S PQRS P QR S P P P A B C ABC A B C △ A B C \triangle ABC △ A B C △ Q R S \triangle QRS △ QR S V P A B C V_{PABC} V P A B C △ A B C \triangle ABC △ A B C 18 3 18\sqrt3 18 3 ( 5 − 2 t ) / 3 (5-2t)/\sqrt3 ( 5 − 2 t ) / 3 V P A B C = 1 3 ⋅ 18 3 ⋅ 5 − 2 t 3 = 6 ( 5 − 2 t ) . \displaystyle
V_{PABC}=\frac13\cdot18\sqrt3\cdot\frac{5-2t}{\sqrt3}=6(5-2t). V P A B C = 3 1 ⋅ 18 3 ⋅ 3 5 − 2 t = 6 ( 5 − 2 t ) . z = 6 − x − y z=6-x-y z = 6 − x − y x y xy x y 3 \sqrt3 3 x y xy x y A B C ABC A B C ( 0 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 0 , 6 ) (0,0),(6,0),(0,6) ( 0 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 0 , 6 ) Q R S QRS QR S ( a , 0 ) , ( 0 , a ) , ( a , a ) (a,0),(0,a),(a,a) ( a , 0 ) , ( 0 , a ) , ( a , a )
0 < t ≦ 1 0<t\leq1 0 < t ≦ 1 a ≦ 3 a\leq3 a ≦ 3 Q , R , S Q,R,S Q , R , S A B C ABC A B C a 2 / 2 18 = a 2 36 . \displaystyle
\frac{a^2/2}{18}=\frac{a^2}{36}. 18 a 2 /2 = 36 a 2 . 6 ( 5 − 2 t ) a 2 36 = ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t ) 24 . \displaystyle
6(5-2t)\frac{a^2}{36}=\frac{(t+5)^2(5-2t)}{24}. 6 ( 5 − 2 t ) 36 a 2 = 24 ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t ) .
1 < t < 5 / 2 1<t<5/2 1 < t < 5/2 3 < a < 6 3<a<6 3 < a < 6 S S S A B C ABC A B C Q R QR QR x + y = 6 x+y=6 x + y = 6 Q ′ = ( a , 6 − a ) , R ′ = ( 6 − a , a ) Q'=(a,6-a),\ R'=(6-a,a) Q ′ = ( a , 6 − a ) , R ′ = ( 6 − a , a ) a 2 a\sqrt2 a 2 2 ( a − 3 ) 2 2(a-3)\sqrt2 2 ( a − 3 ) 2 x + y = a x+y=a x + y = a x + y = 6 x+y=6 x + y = 6 ( 6 − a ) / 2 (6-a)/\sqrt2 ( 6 − a ) / 2 1 2 { a 2 + 2 ( a − 3 ) 2 } 6 − a 2 = 3 2 ( a − 2 ) ( 6 − a ) . \displaystyle
\frac12\{a\sqrt2+2(a-3)\sqrt2\}\frac{6-a}{\sqrt2}
=\frac32(a-2)(6-a). 2 1 { a 2 + 2 ( a − 3 ) 2 } 2 6 − a = 2 3 ( a − 2 ) ( 6 − a ) . ( a − 2 ) ( 6 − a ) / 12 (a-2)(6-a)/12 ( a − 2 ) ( 6 − a ) /12 6 ( 5 − 2 t ) ( a − 2 ) ( 6 − a ) 12 = ( 5 − 2 t ) ( t + 1 ) ( 7 − t ) 8 . \displaystyle
6(5-2t)\frac{(a-2)(6-a)}{12}
=\frac{(5-2t)(t+1)(7-t)}8. 6 ( 5 − 2 t ) 12 ( a − 2 ) ( 6 − a ) = 8 ( 5 − 2 t ) ( t + 1 ) ( 7 − t ) . t = 1 t=1 t = 1 9 / 2 9/2 9/2
平面ABCは x+y+z=6 で、その法線ベクトルは(1,1,1)。P=(t,t,1)から平面へ下ろす垂線を H=P+λ(1,1,1) とすると 2t+1+3λ=6 より λ=(5−2t)/3。従って H = ( t + 5 3 , t + 5 3 , 8 − 2 t 3 ) \displaystyle H=\left(\frac{t+5}{3},\frac{t+5}{3},\frac{8-2t}{3}\right) H = ( 3 t + 5 , 3 t + 5 , 3 8 − 2 t )
(1) CAの方向ベクトルは(1,0,−1)。直線上の点を C+u(1,0,−1) と表し、垂線の条件から (P−C−u(1,0,−1))・(1,0,−1)=0、すなわち t+5−2u=0。 u=(t+5)/2 だから Q = ( t + 5 2 , 0 , 7 − t 2 ) \displaystyle Q=\left(\frac{t+5}{2},0,\frac{7-t}{2}\right) Q = ( 2 t + 5 , 0 , 2 7 − t ) S = 2 M − C = ( t + 5 2 , t + 5 2 , 1 − t ) \displaystyle S=2M-C=\left(\frac{t+5}{2},\frac{t+5}{2},1-t\right) S = 2 M − C = ( 2 t + 5 , 2 t + 5 , 1 − t )
(2) a=(t+5)/2 とおくと Q=(a,0,(7−t)/2), R=(0,a,(7−t)/2), S=(a,a,1−t)。各辺の差を計算すると、QR, QS, RSはいずれも長さ√2aで、△QRSは一辺√2aの正三角形。底面積は√3a²/2。Pと平面ABCの距離は(5−2t)/√3。よって四面体PQRSの体積は 1 3 ⋅ 3 a 2 2 ⋅ 5 − 2 t 3 = a 2 ( 5 − 2 t ) 6 = ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t ) 24 \displaystyle \frac13\cdot\frac{\sqrt3a^2}{2}\cdot\frac{5-2t}{\sqrt3}=\frac{a^2(5-2t)}6=\frac{(t+5)^2(5-2t)}{24} 3 1 ⋅ 2 3 a 2 ⋅ 3 5 − 2 t = 6 a 2 ( 5 − 2 t ) = 24 ( t + 5 ) 2 ( 5 − 2 t )
(3) PABCとPQRSは頂点Pと底面平面ABCを共有する錐体なので、共通部分の体積は、PABCの体積に底面ABC内での△QRSとの面積比を掛けたもの。PABCの底面積は18√3、高さは(5−2t)/√3だから体積は6(5−2t)。 平面上で z=6−x−y と置くと面積倍率は両方とも√3で、面積比はxy平面で計算できる。xy平面でABCは頂点(0,0),(6,0),(0,6)の三角形、QRSは(a,0),(0,a),(a,a)の三角形。
0<t≦1ならa≦3で△QRS全体が△ABCに含まれる。面積比は(a²/2)/18=a²/36なので、共通体積は6(5−2t)·a²/36=(t+5)²(5−2t)/24。
1<t<5/2なら3<a<6で、SだけがABCの外に出る。共通底面は、平行な辺QR（長さa√2）と、x+y=6上の交点Q'=(a,6−a), R'=(6−a,a)を結ぶ辺（長さ2(a−3)√2）をもつ台形である。二直線x+y=a, x+y=6の距離は(6−a)/√2。よってxy平面上の台形面積は 1/2{a√2+2(a−3)√2}(6−a)/√2=3(a−2)(6−a)/2。 ABCとの面積比は(a−2)(6−a)/12。これをPABCの体積に掛けると、共通体積は(5−2t)(a−2)(6−a)/2=( 5 − 2 t ) ( t + 1 ) ( 7 − t ) 8 \displaystyle \frac{(5-2t)(t+1)(7-t)}8 8 ( 5 − 2 t ) ( t + 1 ) ( 7 − t )
