3福島県立医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $0<x<\pi/2$ とする。半径1、中心角 $x$ ラジアンの図で、三角形 $OAC$ は扇形 $OAC$ に含まれ、扇形は直角三角形 $OAB$ に含まれる。3つの面積はそれぞれ $$\displaystyle \frac12\sin x,\qquad \frac12x,\qquad \frac12\tan x$$ だから $$\sin x<x<\tan x.$$ ここで $\cos x>0$ なので $$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$ また $0<\sin x<x$ より $\sin x\to0$、したがって $$\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}\longrightarrow1\quad(x\to+0).$$ はさみうちの原理から $$\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}\frac{\sin x}{x}=1.$$ $x<0$ に対して $t=-x>0$ とおけば、正弦の奇関数性から $\sin x/x=\sin t/t$ である。よって左極限も1となり $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

(2) 微分係数の定義と加法定理より $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x &=\lim\limits _{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &=\lim\limits _{h\to0}\left(\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\right). \end{aligned}$$ (1)から $\sin h/h\to1$ である。また倍角公式により $$\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}=-\frac h2\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\longrightarrow0.$$ したがって $$\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x.$$