4福島県立医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\ (x>0)$ とおくと、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\frac12\log x}{x\sqrt{x}}.$$ したがって、$0<x<e^2$では$f'(x)>0$、$x>e^2$では$f'(x)<0$である。よって$x=e^2$で最大となり、 $$\displaystyle f(e^2)=\frac{2}{e}.$$

(2) $\displaystyle g(x)=x^{1/x}=\exp\!\left(\frac{\log x}{x}\right)$とおくと、 $$\displaystyle g'(x)=x^{1/x}\frac{1-\log x}{x^2}.$$ よって$0<x<e$で増加し、$x>e$で減少するから、$x=e$で最大値$g(e)=e^{1/e}=b$をとる。また、$x\to0+$のとき$\displaystyle \frac{\log x}{x}\to-\infty$なので$g(x)\to0$。$x\to\infty$のとき$\displaystyle \frac{\log x}{x}\to0$なので$g(x)\to1$。したがって、漸近線は$x\to\infty$における水平漸近線$y=1$であり、垂直漸近線はない。なお、$g(1)=1$である。グラフは原点に右から近づき、$(1,1)$を通って$(e,b)$で最高点に達し、その後は$y=1$の上側からこれに近づく。

(3) $1\leq a\leq b=e^{1/e}$より$a^e\leq e$である。また$a\leq b<e$だから$a\leq e$。$a\geq1$より$a^a\geq a$であり、$a\leq e$から$a^a\leq a^e\leq e$である。ゆえに$a_1=a\leq a_2=a^a\leq e$。

ある自然数$n$について$a\leq a_n\leq a_{n+1}\leq e$と仮定する。底$a\geq1$なので、指数関数$a^x$は単調非減少であり、 $$a_{n+1}=a^{a_n}\leq a^{a_{n+1}}=a_{n+2}\leq a^e\leq e.$$ また仮定から$a\leq a_{n+1}$である。したがって$a\leq a_{n+1}\leq a_{n+2}\leq e$となる。以上を数学的帰納法で繰り返すと、すべての自然数$n$について$a\leq a_n\leq a_{n+1}\leq e$が成立する。

(4) $b$は$x^{1/x}$の最大値なので、$b\geq2^{1/2}=\sqrt2$。したがって(3)を$a=\sqrt2$に適用でき、$\sqrt2\leq a_n\leq e$である。極限$l$の存在を仮定すると、漸化式と指数関数の連続性から $$l=(\sqrt2)^l.$$ 両辺の対数をとると$\displaystyle \frac{\log l}{l}=\frac{\log2}{2}$となる。$\displaystyle h(x)=\frac{\log x}{x}$とおけば $$\displaystyle h'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}.$$ よって$\sqrt2\leq x<e$で$h'(x)>0$であり、$h$は$\sqrt2\leq x\leq e$の範囲で増加し、異なる$x$に対して異なる値をとる。$\sqrt2\leq2\leq e$かつ$\displaystyle h(2)=\frac{\log2}{2}$だから、上の等式を満たす$\sqrt2\leq l\leq e$ の範囲の$l$は$l=2$に限られる。