福島県立医科大学 2019年数学第1問解答・解説

1問題

福島県立医科大学2019年度第1問

以下の各問いについて答えだけを書け。

(1) 座標平面上に放物線 $y=x^{2}$ が与えられている。放物線上の点 $(a,a^{2})$ における接線と，点 $(a+1,(a+1)^{2})$ における接線の交点を $P$ とする。 $a$ がすべての実数値をとって変化するとき，点 $P$ の軌跡を求めよ。

(2) $AB=3,\ BC=4,\ \angle BAC=90^{\circ}$ である $\triangle ABC$ があり， $\angle ABC$ の2等分線に $C$ から下ろした垂線の足を $D$ とする。 $\triangle BCD$ の面積を求めよ。

(3) $i$ を虚数単位とする。方程式 $z^{3}=2-2i$ を解け。

(4) 実数 $x$ についての関数の列 $\{f_{n}(x)\}$ が $\displaystyle f_{n}(x)=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{k}-2\int_{0}^{1}f_{n}(t)\,dt\qquad(n=1,2,3,\ldots)$ を満たしている。極限値 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}f_{n}(0)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle y=x^2-\frac14$ . (2) $\sqrt7$ . (3) $\displaystyle z=\frac{1+\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3-1}{2}i,\quad \frac{1-\sqrt3}{2}+\frac{1+\sqrt3}{2}i,\quad -1-i$ . (4) $\displaystyle -\frac23$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 傾き $2a$ と $2(a+1)$ の接線を連立し交点は $\displaystyle (x,y)=\left(a+\frac12,a^2+a\right)$ 、よって $\displaystyle y=x^2-\frac14$ 。(2) $AC=\sqrt7$ 、半角から $BD=\sqrt{14}$ , $CD=\sqrt2$ 、面積 $\sqrt7$ 。(3) $\displaystyle 2-2i=2\sqrt2\operatorname{cis}(-\frac\pi4)$ より $\displaystyle z=\sqrt2\operatorname{cis}\left(-\frac\pi{12}+\frac{2k\pi}{3}\right),\quad k=0,1,2$ 。(4) $\displaystyle I_n=\int_0^1f_n(t)\,dt$ とすると積分式より $\displaystyle 3I_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\frac n{n+1}$ 。 $x=0$ では $f_n(0)=-2I_n$ 、従って極限 $\displaystyle -\frac23$ 。

原文p.4の〔1〕(1)–(4)とp.1を視認。接線交点の軌跡 $\displaystyle y=x^2-\frac14$ 。三角形面積 $\sqrt7$ 。 $z^3=2-2i$ の三根は絶対値 $\sqrt2$ 、偏角 $\displaystyle -\frac\pi{12}+\frac{2k\pi}{3}$ 。漸化式様の積分関数は両辺を積分し望遠和で $\displaystyle I_n=\frac n{3(n+1)}$ 、 $x=0$ から極限 $\displaystyle -\frac23$ 。旧A187の全4答と一致。

この問題で使う考え方

接線の連立
直角三角形と半角公式
極形式とド・モアブル
望遠和

1問題

2答え

3解答

似た問題を、ほかの大学で