2島根大学 2010年 数学 第2問解答・解説

自然数 $n$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ を $$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\,n^{\frac{1}{4}}+1\right),\qquad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\,1-n^{\frac{1}{4}}\right)$$ で定めるとき、次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle \dfrac{1}{\cos\theta}$ が整数となるような $n$ を小さい順に $n_{1},n_{2},\cdots$ とするとき、$i$ 番目の $n_{i}$ を $i$ を用いて表せ。

(3) $n=n_{i}$ に対する $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta_{i}$ とおく。自然数 $k$ に対して、 $$\displaystyle S_{k}=\frac{1}{\tan^{2}\theta_{1}}+\frac{1}{\tan^{2}\theta_{2}}+\cdots+\frac{1}{\tan^{2}\theta_{k}}$$ とするとき、$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}S_{k}$ を求めよ。