4島根大学 2010年 数学 第4問解答・解説

(1) 通分して $$\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}-x=\frac{x}{x^2-1}$$ だから、$x\to\infty$ での極限は $\boxed{0}$。

(2) $y=x^3/(x^2-1)$ とおく。定義域は $x\ne\pm1$ であり、微分すると $$\displaystyle y'=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2},\qquad y''=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}.$$ 従って増減と凹凸は次の通り。

・ $y'>0$ は $x<-\sqrt3$ と $x>\sqrt3$、$y'<0$ は $-\sqrt3<x<0$ または $0<x<\sqrt3$（ただし定義域外の $x=\pm1$ を除く）。$x=0$ では $y'=0$ だが、前後とも減少する。

・ $x=-\sqrt3$ で極大値 $-3\sqrt3/2$、$x=\sqrt3$ で極小値 $3\sqrt3/2$ をとる。

・ $y''<0$ は $x<-1$ または $0<x<1$、$y''>0$ は $-1<x<0$ または $x>1$。従って変曲点は $(0,0)$。

また $$\displaystyle y=x+\frac{x}{x^2-1}$$ なので、斜漸近線は $y=x$、垂直漸近線は $x=\pm1$。片側極限は $x\to-1-,-1+,1-,1+$ の順に $-\infty,+\infty,-\infty,+\infty$ である。関数は奇関数で原点を通り、以上の増減・凹凸から概形は次のようになる。

(3) $x=\pm1$ は元の方程式の解ではない。また、$x\ne\pm1$ では $$\displaystyle x^3-kx^2+k=0\quad\text{すなわち}\quad \frac{x^3}{x^2-1}=k.$$ 従って実数解の個数は、(2)のグラフと水平線 $y=k$ の交点数である。左の枝は $x=-\sqrt3$ で高さ $-3\sqrt3/2$ の極大値をもち、中央の枝はすべての実数値をただ一度とり、右の枝は $x=\sqrt3$ で高さ $3\sqrt3/2$ の極小値をもつ。よって異なる実数解の個数は $$\boxed{\begin{cases} 3,& |k|>3\sqrt3/2,\\ 2,& |k|=3\sqrt3/2,\\ 1,& |k|<3\sqrt3/2. \end{cases}}$$