島根大学 2010年数学第1問解答・解説

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1問題

島根大学2010年度第1問

数列 $\{a_{n}\}$ を初項 $3$ 、公比 $3$ の等比数列とし、数列 $\{b_{n}\}$ を初項 $11$ 、公差 $8$ の等差数列とする。 $\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ に共通に含まれる項を小さいものから順に並べて得られる数列 $\{c_{n}\}$ の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

等比数列の項を3のべきで表し、等差数列の項が満たす8で割った余りを使って指数を判定する。初項の下限を確認して、共通項を小さい順に並べる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$c_n=3^{2n+1}\quad(n=1,2,\ldots)$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

数列 $\{a_m\}$ の一般項は $a_m=3^m$ 、数列 $\{b_j\}$ の一般項は $b_j=11+8(j-1)=8j+3$ である。

$3^2=9\equiv1\pmod 8$ より、 $m$ が奇数なら $3^m\equiv3\pmod 8$ 、 $m$ が偶数なら $3^m\equiv1\pmod 8$ となる。したがって $3^m$ が $\{b_j\}$ の項となるには $m$ は奇数でなければならず、このとき $j=(3^m-3)/8$ は整数である。

ただし $m=1$ では $3^m=3$ であり、 $\{b_j\}$ の初項 $11$ より小さいため共通項ではない。よって共通項は $3^3,3^5,3^7,\ldots$ である。これらは小さい順に並んでいるから、 $n$ 番目の項は $c_n=3^{2n+1}\quad(n=1,2,\ldots).$

この問題で使う考え方

約数・倍数
等差数列の一般項と和
等比数列の一般項と和

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