3島根大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle C=2\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(t)\cos t\,dt$ とおくと，もとの式から $$f(x)=\sin^2x+C$$ である。これを $C$ の定義に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} C&=2\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin^2t+C)\cos t\,dt\\ &=2\sqrt{2}\left[\frac{\sin^3t}{3}+C\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{2}C\right) =\frac{1}{3}+2C. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle C=-\frac{1}{3}$ であり， $$\displaystyle \boxed{f(x)=\sin^2x-\frac{1}{3}}.$$

(2) $g'$ は連続なので，微積分の基本定理により両辺を $x$ で微分できる。 $$g'(x)=1-\cos 2x+g'(x)\cos x,$$ よって二倍角の公式から $$(1-\cos x)g'(x)=1-\cos 2x =2(1-\cos x)(1+\cos x).$$ $x\ne 2k\pi$ では $1-\cos x\ne0$ だから $$g'(x)=2(1+\cos x).$$ $x=2k\pi$ では，$g'$ の連続性とこの式の極限からも $g'(2k\pi)=4$ となる。したがってこの導関数の式はすべての実数 $x$ で成り立つ。積分して $$g(x)=2x+2\sin x+C.$$ もとの式で $x=0$ とすると $g(0)=0$ なので $C=0$。よって $$\boxed{g(x)=2x+2\sin x}.$$ 実際，この関数について $$\displaystyle x-\frac{1}{2}\sin 2x+\int_0^x(2+2\cos t)\cos t\,dt =x-\frac{1}{2}\sin 2x+2\sin x+x+\frac{1}{2}\sin 2x =2x+2\sin x$$ となり，もとの等式を満たす。