5東北大学 2010年 数学 第5問解答・解説

$0\le x\le t<3<\pi$で$\sin x\ge0$なので、領域の高さは$\displaystyle \min(\sin x,t−x)$。$u+\sin u=t$を考えると、$x+\sin x$は$0\le x\le t$ の範囲で導関数$1+\cos x>0$をもち、値が0から$t+\sin t>t$まで増加するため、$0<u<t$にただ一つ解をもつ。$x<u$では$\sin x<t−x$、$x>u$では$t−x<\sin x$。よって $$\displaystyle V(t)=\pi\left(\int_0^u\sin^2x\,dx+\frac{(t−u)^3}{3}\right).$$ $t=u+\sin u$より$u'=1/(1+\cos u)$。また$t−u=\sin u$だから $$V'(t)=\pi\{\sin^2u\,u'+(t−u)^2(1−u')\}=\pi\sin^2u.$$ $V'=\pi/4$なら$\sin u=1/2$。$0<u<t<3<\pi$より候補は$u=\pi/6,5\pi/6$だが、後者では$t=5\pi/6+1/2>3$。従って$u=\pi/6$、$t=\pi/6+1/2$。このとき $$\displaystyle V(t)=\pi\left(\int_0^{\pi/6}\sin^2x\,dx+\frac1{24}\right)=\frac{\pi(2\pi+1−3\sqrt3)}{24}.$$