1東北大学 2010年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \Delta=f(x)-\frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}\quad(a-y>0).$$ 分母を払って展開すると $$\begin{aligned} (a-y)\Delta&=(a-y)(x^3+3x^2-9x)\\ &-(x-y)(a^3+3a^2-9a)-(a-x)(y^3+3y^2-9y)\\ &=(a-y)(x-y)(x-a)(x+y+a+3). \end{aligned}$$ 従って $$\Delta=(x-y)(x-a)(x+y+a+3).$$ ここで $x-y>0$、$x-a<0$ なので、問題の不等式 $\Delta>0$ は $x+y+a+3<0$ と同値である。

$a\le-1$ なら、$y<x<a$ より $$x+y+a+3<3a+3\le0,$$ ゆえに任意の $y<x<a$ に対して $\Delta>0$ となり、条件を満たす。

一方、$a>-1$ とする。$0<\varepsilon<a+1$ となる $\varepsilon$ を選び、$x=a-\varepsilon$、$y=a-2\varepsilon$ とおくと $y<x<a$ であるが $$x+y+a+3=3(a+1-\varepsilon)>0.$$ このとき $x-y>0$、$x-a<0$ より $\Delta<0$ となり、条件に反する。したがって求める範囲は $$\boxed{a\le-1}.$$

左辺と弦上の値の差を因数分解し、順序条件で固定される因子の符号から必要十分条件を得る。条件を満たさない場合は、$x,y$を$a$に近づけた具体例で否定する。