3信州大学 2009年 数学 第3問解答・解説

f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)=(x-1)(x-(1-$\sqrt3$))(x-(1+$\sqrt3$)) とおく。零点を r_-=1-$\sqrt3$, 1, r_+=1+$\sqrt3$ とすると、f<0 は $x<r_-$ または $1<x<r_+$、f$\ge$0 は $r_-\le x\le1$ または $x\ge r_+$ である。x=-1 では |f(-1)|=2 なので、a の値によらず必ず解となる。

f<0 の区間では |f|-2=-f-2=-(x+1)(x-2)^2 だから、元の左辺は -(x+1)((x-2)^2+a) と因数分解できる。x$\ne$-1 の解は a=-(x-2)^2 を満たす。t=$\sqrt{-a}$ とおくと、$1<x<r_+$ の範囲では x=2$\pm$ t を数え、0<t<$\sqrt3$-1 で2個、t=0 または $\sqrt3$-1$\le$ t<1 で1個、それ以外で0個となる。$x<r_-$ の範囲では x=2-t が入るのは t>1+$\sqrt3$ の場合である。ただし t=3（a=-9）ではこの根が x=-1 と重なる。境界 x=r_-,1,r_+ は f$\ge$0 側で数える。

f$\ge$0 では f-2=x^2(x-3) なので、x$\ne$-1 について a=q(x)=x^2(x-3)/(x+1) である。q'(x)=2x(x^2-3)/(x+1)^2。$r_-\le x\le1$ の範囲では q は $r_-\le x\le0$ で増加し、$0\le x\le1$ で減少する。また q(r_-)=-4-2$\sqrt3$, q(0)=0, q(1)=-1 なので、この区間での解数は $-4-2\sqrt3\le a<-1$ なら1個、$-1\le a<0$ なら2個、a=0 なら1個、それ以外は0個である。$x\ge r_+$ の範囲では q は増加し、q(r_+)=-4+2$\sqrt3$ から無限大へ動くため、a$\ge$-4+2$\sqrt3$ で1個、それ以外で0個である。

以上の個数に常に存在する x=-1 を加える。負の符号区間で得た根と正の符号区間の根は境界を片側だけに割り当てたため重複せず、a=-9 だけは外側の追加根も x=-1 と一致する。各範囲を合わせると、記載の N(a) を得る。