4信州大学 2009年 数学 第4問解答・解説

部屋を上段左・中・右を $T_1,T_2,T_3$、下段左・中・右を $S_1,S_2,S_3$ と表す。異なる2室の間の壁の数は格子上のマンハッタン距離であり、例えば $d(T_1,S_2)=2$、$d(T_1,S_3)=3$ である。空室 $x$ の選択重みは、既に客のいる各部屋から $x$ までの壁の数のうち最小のものである。

まず、3人が上段だけに入る確率を求める。1人目が $T_1$（または対称な $T_3$）に入ったとき、残る5室の重みは順に $T_2:1,T_3:2,S_1:1,S_2:2,S_3:3$ で合計9である。したがって2人目が上段に入る確率は $3/9$。1人目が $T_2$ のとき、残る重みは $T_1:1,T_3:1,S_1:2,S_2:1,S_3:2$ で合計7であり、2人目が上段に入る確率は $2/7$。

上段の異なる2室を占有した後、残る上段の1室の重みは1である。例えば占有室が $T_1,T_2$ の場合、空室 $T_3,S_1,S_2,S_3$ の重みは $1,1,1,2$ で合計5となる。占有室が $T_2,T_3$ の場合も左右対称で合計5、占有室が $T_1,T_3$ の場合は空室 $T_2,S_1,S_2,S_3$ の重みが $1,1,2,1$ で合計5である。よって、この時点で3人目が残る上段室に入る確率はいずれも $1/5$。

1人目が上段の左端または右端なら、その確率寄与はそれぞれ $\displaystyle \frac16\cdot\frac39\cdot\frac15=\frac1{90}$。1人目が上段中央なら寄与は $\displaystyle \frac16\cdot\frac27\cdot\frac15=\frac1{105}$。したがって上段3室を3人が占める確率は $$\displaystyle 2\cdot\frac1{90}+\frac1{105}=\frac2{63}.$$

図形は上下反転で不変なので、下段3室を3人が占める確率も $2/63$ である。上段全体と下段全体は互いに排反であり、求める確率は $2/63+2/63=\boxed{4/63}$。