5広島大学 2009年 数学 第5問解答・解説

Aの所持枚数を状態とする。初めは2枚で，1回の対戦ごとに所持枚数の偶奇が入れ替わる。4枚は偶数なので，Aがすべての金貨を手に入れる時点は偶数回に限られる。よって，(2) は $P_{2n-1}=0$ である。

$q=1-p$ とおく。所持枚数が2枚の状態から2回対戦すると，Aが2連勝する確率は $p^2$，AとBが1回ずつ勝って所持枚数が2枚に戻る確率は $pq+qp=2pq$，Bが2連勝する確率は $q^2$ である。2回後にゲームが続いている場合，所持枚数は再び2枚である。したがって，ちょうど $2n$ 回でAが勝つには，最初の $n-1$ 個の2回区切りで毎回2枚に戻り，最後の区切りでAが2連勝すればよい。ゆえに $$P_{2n}=(2pq)^{n-1}p^2.$$ ここで $n=2$ とすれば $$P_4=2p^3q=2p^3(1-p),$$ また (3) は $$P_{2n}=p^2\{2p(1-p)\}^{n-1}$$ となる。

$S_n$ は2回，4回，$\ldots$，$2n$ 回で勝つ確率の和である。$0<p<1$ より $\displaystyle 0<2pq\le \tfrac12<1$ だから， $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}P_{2k} =p^2\sum\limits _{k=0}^{n-1}(2pq)^k =\frac{p^2\{1-(2pq)^n\}}{1-2pq} =\frac{p^2\{1-\{2p(1-p)\}^n\}}{1-2p(1-p)}.$$

さらに $0<2pq<1$ より $(2pq)^n\to0$ であり，$1-2pq=p^2+q^2$ なので， $$\displaystyle S=\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac{p^2}{p^2+q^2} =\frac{p^2}{p^2+(1-p)^2}.$$ 大小を比べると $$\displaystyle S-p=\frac{p^2-p\{p^2+(1-p)^2\}}{p^2+(1-p)^2} =\frac{p(1-p)(2p-1)}{p^2+(1-p)^2}.$$ 分母と $p(1-p)$ は正だから，$S-p$ の符号は $2p-1$ の符号と同じである。したがって $\displaystyle 0<p<\tfrac12$ では $S<p$，$\displaystyle p=\tfrac12$ では $S=p$，$\displaystyle \tfrac12<p<1$ では $S>p$ である。