3福井大学 2007年 数学 第3問解答・解説

各回の移動量は，サイコロの目が1,2のとき0，3,4のとき1，5,6のとき2であり，それぞれの確率は $1/3$ である。したがって，$n$ 回の移動量の列は $3^n$ 通りが同様に確からしい。

(1) 移動量の列で2となる回数を $a$，1となる回数を $b$ とすると，座標は $2a+b$ である。座標が3となるのは $(a,b)=(0,3),(1,1)$ の場合だから，その列の個数は $$\displaystyle \binom{n}{3}+n(n-1).$$ ここで $n(n-1)$ は，移動量2と1をそれぞれ1回選ぶ方法の数である。よって $$\displaystyle q_n(3)=\frac{\binom{n}{3}+n(n-1)}{3^n}.$$ 座標が4となるのは $(a,b)=(0,4),(1,2),(2,0)$ の場合であり，対応する列の個数はそれぞれ $$\displaystyle \binom{n}{4},\qquad 3\binom{n}{3},\qquad\binom{n}{2}.$$ したがって $$\displaystyle q_n(4)=\frac{\binom{n}{4}+3\binom{n}{3}+\binom{n}{2}}{3^n}.$$ なお，$n<j$ のとき $\displaystyle \binom{n}{j}=0$ とする。

(2) 移動量は常に0以上なので，$n$ 回目に初めて座標が3以上になるには，$n-1$ 回後の座標が1または2である。座標が1となる移動量の列は，$n-1$ 回のうち1回だけ移動量1を選ぶので $$\displaystyle q_{n-1}(1)=\frac{n-1}{3^{n-1}}.$$ 座標が2となる列は，移動量2を1回選ぶか，移動量1を2回選ぶから $$\displaystyle q_{n-1}(2)=\frac{(n-1)+\binom{n-1}{2}}{3^{n-1}} =\frac{n(n-1)}{2\cdot3^{n-1}}.$$ 座標1からは移動量2を選べばよく，その確率は $1/3$。座標2からは移動量1または2を選べばよく，その確率は $2/3$。したがって $$\displaystyle p_n=\frac13q_{n-1}(1)+\frac23q_{n-1}(2) =\frac{(n-1)+n(n-1)}{3^n} =\frac{n^2-1}{3^n}\qquad(n\ge1).$$

(3) (2)より $$\displaystyle \frac{p_k}{k-1}=\frac{k^2-1}{(k-1)3^k}=\frac{k+1}{3^k},$$ したがって $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=2}^{n}\frac{k}{3^k}+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{3^k}.$$ $\displaystyle T_n=\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k}{3^k}$ とおくと，添字を1つずらして引き算することにより $$\displaystyle \frac23T_n=T_n-\frac13T_n =\frac13+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{3^k}-\frac{n}{3^{n+1}}.$$ また $$\displaystyle \sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{3^k} =\frac16\left(1-\frac1{3^{n-1}}\right) =\frac16-\frac1{2\cdot3^n}.$$ これらから $$\displaystyle T_n=\frac34-\frac{2n+3}{4\cdot3^n},$$ よって $$\displaystyle S_n=T_n-\frac13+\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1{3^k} =\frac7{12}-\frac{2n+5}{4\cdot3^n}.$$ 問題文で与えられた極限を $r=1/3$ に適用すると $\displaystyle \frac{n}{3^n}\to0$ であり，また $3^{-n}\to0$ だから $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac7{12}}.$$