2福井大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $N=A-E$とおくと$N^2=O$。与えられた$\displaystyle A\binom12=\binom35$より $$\displaystyle N\binom12=\binom23.$$ 両辺に$N$を掛けると$\displaystyle N\binom23=\binom00$。 $N=\begin{pmatrix}u&v\\w&t\end{pmatrix}$とおけば $$u+2v=2,\quad2u+3v=0,\qquad w+2t=3,\quad2w+3t=0.$$ これらの連立一次方程式を解いて$u=-6,v=4,w=-9,t=6$。従って $$\boxed{A=\begin{pmatrix}-5&4\\-9&7\end{pmatrix}}.$$ 実際$N=\begin{pmatrix}-6&4\\-9&6\end{pmatrix}$は成分乗算により$N^2=O$となり、もとの条件をともに満たす。 (2) $N^2=O$なので任意の整数$k$について $$(E+kN)(E+N)=E+(k+1)N.$$ 従って数学的帰納法により正の整数$n$について$A^n=E+nN$である。 また$(E+N)(E-N)=(E-N)(E+N)=E$だから$A^{-1}=E-N$。 同様の帰納法を$E-N$に適用すれば、正の整数$m$について$A^{-m}=(E-N)^m=E-mN$となる。 よって正負いずれの整数$n$に対しても $$\boxed{A^n=\begin{pmatrix}1-6n&4n\\-9n&1+6n\end{pmatrix}}.$$ なお$n=0$の場合にも右辺は$E$となる。