1福井大学 2007年 数学 第1問解答・解説

$P,Q$ は単位円上で互いに直径の両端なので、ある $x,y$ を用いて $$P=(x,y,0),\qquad Q=(-x,-y,0),\qquad x^2+y^2=1$$ と表せる。$A=(1,2,1)$ から $$\overrightarrow{AP}=(x-1,y-2,-1),\qquad \overrightarrow{AQ}=(-x-1,-y-2,-1).$$

(1) 内積を計算すると $$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ} =-(x^2+y^2)+6=5.$$

(2) $w=2x+4y$ とおくと $$|\overrightarrow{AP}|^2=7-w,\qquad |\overrightarrow{AQ}|^2=7+w,$$ したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac5{\sqrt{(7-w)(7+w)}} =\frac5{\sqrt{49-w^2}}.$$ また $x^2+y^2=1$ より $$(2x+4y)^2+(4x-2y)^2=20,$$ ゆえに $0\le w^2\le20$。$w=0$ は例えば $(x,y)=(2/\sqrt5,-1/\sqrt5)$ で、$w^2=20$ は $(x,y)=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)$ で実現する。式 $5/\sqrt{49-w^2}$ は $w^2$ とともに増加するから $$\displaystyle \min\cos\theta=\frac57,\qquad \max\cos\theta=\frac5{\sqrt{29}}.$$

(3) 最小値は $w=0$ のときに生じ、そのとき $$|\overrightarrow{AP}|^2=|\overrightarrow{AQ}|^2=7.$$ 従って $\sin\theta=\sqrt{1-(5/7)^2}=2\sqrt6/7$ であり、 $$\displaystyle [\triangle PAQ]=\frac12|AP||AQ|\sin\theta =\frac12\cdot7\cdot\frac{2\sqrt6}{7}=\sqrt6.$$