3東北大学 2008年 数学 第3問解答・解説

空間ベクトルを $\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB},\ \vec c=\overrightarrow{OC}$、$t=\cos\theta$ とおく。すると $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$、$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=t$ である。

(1) 重心の位置ベクトルは $\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$ だから、$$\displaystyle \begin{aligned}9AG^2&=|\vec b+\vec c-2\vec a|^2\\&=|\vec b|^2+|\vec c|^2+4|\vec a|^2+2\vec b\cdot\vec c-4\vec a\cdot\vec b-4\vec a\cdot\vec c\\&=6(1-t),\\OG^2&=\frac{|\vec a+\vec b+\vec c|^2}{9}=\frac{3+6t}{9}=\frac{1+2t}{3}.\end{aligned}$$ よって $\displaystyle AG=\sqrt{\frac{2(1-\cos\theta)}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\frac{\theta}{2}$、$\displaystyle OG=\sqrt{\frac{1+2\cos\theta}{3}}$ である。

(2) $AB^2=|\vec b-\vec a|^2=2(1-t)$ で、同様に $AB=BC=CA$。したがって $\triangle ABC$ は正三角形で、$$\displaystyle S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t).$$ また、$\displaystyle \overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)=0$、同様に $\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ なので、$OG$ は底面 $ABC$ への高さである。よって体積は $$\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{ABC}\,OG=\frac{1}{6}(1-t)\sqrt{1+2t}.$$ ここで $u=\sqrt{1+2t}$ とおけば $0<u<\sqrt{3}$、$1-t=(3-u^2)/2$ だから $\displaystyle V=\frac{3u-u^3}{12}$。$$(u-1)^2(u+2)=u^3-3u+2\geq0$$ より $3u-u^3\leq2$、等号は $u=1$、すなわち $\cos\theta=0$、$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ のときに成立する。したがって最大体積は $\displaystyle \frac{1}{6}$ である。