3名古屋市立大学 2020年 数学 第3問解答・解説

名古屋市立大学 2020年度 医学部前期 数学 第3問

解答

四面体なので $\alpha,\beta,\gamma>0$ であり、$\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに直交する。

(1)

$$\displaystyle \boxed{\displaystyle \overrightarrow{OH} =\frac{\dfrac{\vec a}{\alpha^2}+\dfrac{\vec b}{\beta^2}+\dfrac{\vec c}{\gamma^2}} {\dfrac1{\alpha^2}+\dfrac1{\beta^2}+\dfrac1{\gamma^2}} =\frac{\beta^2\gamma^2\vec a+\gamma^2\alpha^2\vec b+\alpha^2\beta^2\vec c} {\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2}.}$$

**導出：** $\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに直交する非零ベクトルなので、空間の任意の点 $X$ の位置ベクトルは一意に $$\overrightarrow{OX}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$$ と書ける。点 $X$ が平面 $ABC$ 上にあることは、$\overrightarrow{OX}=\vec a+y(\vec b-\vec a)+z(\vec c-\vec a)$ と表せること、すなわち $$x+y+z=1$$ と同値である。

$$\displaystyle \vec n=\frac{\vec a}{\alpha^2}+\frac{\vec b}{\beta^2}+\frac{\vec c}{\gamma^2}$$ とおく。直交性と $|\vec a|^2=\alpha^2$ などから $$\vec n\cdot(\vec b-\vec a)=1-1=0,\qquad \vec n\cdot(\vec c-\vec a)=1-1=0.$$ 平面 $ABC$ は方向ベクトル $\vec b-\vec a,\vec c-\vec a$ をもつため、$\vec n$ はその法線ベクトルである。よって垂線の足の位置ベクトルは $\overrightarrow{OH}=t\vec n$ と書ける。これを $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数で表すと $t/\alpha^2,t/\beta^2,t/\gamma^2$ だから、$H$ は平面 $ABC$ 上にあるので $$\displaystyle t\left(\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}+\frac1{\gamma^2}\right)=1.$$ これを解いて上の式を得る。

(2)

$$\displaystyle \boxed{\displaystyle [ABC]=\frac12\sqrt{\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2}.}$$

**導出：** 直交性を用いると $$|\overrightarrow{AB}|^2=|\vec b-\vec a|^2=\alpha^2+\beta^2,\qquad |\overrightarrow{AC}|^2=|\vec c-\vec a|^2=\alpha^2+\gamma^2,$$ また $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =(\vec b-\vec a)\cdot(\vec c-\vec a)=\alpha^2.$$ $\theta=\angle BAC$ とすれば、内積の定義から $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\alpha^2}{\sqrt{(\alpha^2+\beta^2)(\alpha^2+\gamma^2)}}.$$ 三角形の面積を底辺と高さで表すと $\displaystyle [ABC]=\tfrac12|AB||AC|\sin\theta$ である。したがって $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を使って $$\displaystyle \begin{aligned} [ABC]^2 &=\frac14(\alpha^2+\beta^2)(\alpha^2+\gamma^2)(1-\cos^2\theta)\\ &=\frac14\bigl((\alpha^2+\beta^2)(\alpha^2+\gamma^2)-\alpha^4\bigr)\\ &=\frac14\left(\alpha^2\beta^2+\alpha^2\gamma^2+\beta^2\gamma^2\right). \end{aligned}$$ 面積は正なので正の平方根を取り、答えを得る。

使用解法

- (1) 位置ベクトルを直交する3方向の係数で表し、平面上の係数和が1であることを使う。内積で平面の法線方向を作り、平面への所属条件から垂線の足を決める。 - (2) ピタゴラスの定理と内積で辺の長さおよび頂角の余弦を求め、三角形の底辺・高さによる面積公式と $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使う。外積などは用いない。

入力確認・問題点