4名古屋市立大学 2020年 数学 第4問解答・解説

名古屋市立大学 2020年度 数学（医）第4問 — 独立事前検算 P

(1) 曲線 $C$ の方程式

$\displaystyle A=(u,\frac32)$, $B=(0,v)$ とおく。線分 $AB$ を $3:1$ に内分するので $AP:PB=3:1$ であり、 $$\displaystyle P=\frac{A+3B}{4} =\left(\frac u4,\frac38+\frac{3v}{4}\right).$$ また $AB=2\sqrt2$ より $$\displaystyle u^2+\left(v-\frac32\right)^2=8.$$ この円を $$\displaystyle u=2\sqrt2\cos\theta,\qquad v=\frac32+2\sqrt2\sin\theta \quad(0\le \theta<2\pi)$$ と表すと、$P=(x,y)$ は $$\displaystyle x=\frac{\cos\theta}{\sqrt2},\qquad y=\frac32+\frac{3\sin\theta}{\sqrt2}$$ を満たす。したがって $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ から $$\displaystyle \boxed{\,2x^2+\frac{2}{9}\left(y-\frac32\right)^2=1\,}$$ すなわち $$\displaystyle \boxed{\,x^2+\frac{1}{9}\left(y-\frac32\right)^2=\frac12\,}$$ である。逆にこの楕円上の任意の点は、上の $\cos\theta,\sin\theta$ を満たす $\theta$ で表せるので、これが曲線 $C$ 全体の方程式である。

(2) 回転体の体積

楕円の横の範囲は $-1/\sqrt2\le x\le1/\sqrt2$。固定した $x$ における上下端を $$\displaystyle y_\pm=\frac32\pm t,\qquad t=\frac{3}{\sqrt2}\sqrt{1-2x^2}$$ とおく。$y_-\le0$ となるのは $$\displaystyle t\ge\frac32 \text{、すなわち} |x|\le\frac12$$ の範囲である。この範囲では断面は円盤となり、その半径は $\displaystyle y_+=\frac32+t$（$y_+>|y_-|$）。$\displaystyle \frac12<|x|\le1/\sqrt2$ では楕円領域は $x$ 軸より上にあり、断面は外半径 $y_+$、内半径 $y_-$ の円環である。対称性を使うと $$\displaystyle V=2\pi\left\{ \int_0^{1/2}\left(\frac32+t\right)^2\,dx +\int_{1/2}^{1/\sqrt2}\left[\left(\frac32+t\right)^2-\left(\frac32-t\right)^2\right]dx \right\} =2\pi\left\{ \int_0^{1/2}\left(\frac94+3t+t^2\right)dx +\int_{1/2}^{1/\sqrt2}6t\,dx \right\}.$$

$x=\sin\theta/\sqrt2$ と置くと $\displaystyle t\,dx=\frac32\cos^2\theta\,d\theta$ であり、端点 $x=1/2,\,1/\sqrt2$ はそれぞれ $\theta=\pi/4,\,\pi/2$ に対応する。よって $$\displaystyle \int_0^{1/2}t\,dx =\frac32\int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\,d\theta =\frac38+\frac{3\pi}{16}, \qquad \int_{1/2}^{1/\sqrt2}t\,dx =\frac32\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\frac{3\pi}{16}-\frac38.$$ また $$\displaystyle \int_0^{1/2}t^2\,dx =\int_0^{1/2}\frac92(1-2x^2)\,dx =\frac{15}{8}.$$ したがって、$x\ge0$ 側の円盤断面積の積分は $$\displaystyle \int_0^{1/2}\left(\frac94+3t+t^2\right)dx =\frac{33}{8}+\frac{9\pi}{16},$$ 円環断面積の積分は $$\displaystyle \int_{1/2}^{1/\sqrt2}6t\,dx =\frac{9\pi}{8}-\frac94.$$ 以上を加えて $$\displaystyle \boxed{\displaystyle V =2\pi\left(\frac{15}{8}+\frac{27\pi}{16}\right) =\frac{15\pi}{4}+\frac{27\pi^2}{8}}.$$

使用解法

- (1) 内分点の座標公式、距離条件の円による媒介変数表示、三角恒等式による消去。 - (2) 回転軸との交差による円盤・円環の断面積の区分、対称性、三角置換を用いた定積分。