3熊本大学 2021年 数学 第3問解答・解説

採用解説: MM-9e873ec14488-Q3 結論　 $\displaystyle \text{(問1)}\quad t_0=\log\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \text{(問2)}\quad [D]=\frac12\left(\log\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac1{\sqrt5}\right),\qquad \text{(問3)}\quad V=\frac{\pi}{30}$ 曲線上の点の座標を$x=\cosh t,\ y=\sinh t$と書く。

(問1) $u=\sinh t$とおくと$x^2=1+u^2$である。また$du/dt=\cosh t>0$より、$u$は$t$とともに単調に増加し、$t$の全範囲に対して実数全体を動く。したがって $$\displaystyle MP^2=x^2+(y-1)^2=1+u^2+(u-1)^2=2\left(u-\frac12\right)^2+\frac32.$$ これは$u=1/2$のときただ一度最小になる。$e^t-e^{-t}=1$とおき、$z=e^t>0$とすると$z^2-z-1=0$であるから$z=(1+\sqrt5)/2$。よって$\displaystyle t_0=\log\frac{1+\sqrt5}{2}$であり、このとき$Q=(\sqrt5/2,1/2)$である。

(問2) $dx/dt=\sinh t,\ dy/dt=\cosh t$より、$Q$での接線の傾きは$\cosh t_0/\sinh t_0=\sqrt5$。したがって接線は$y-1/2=\sqrt5(x-\sqrt5/2)$、すなわち$y=\sqrt5x-2$であり、$x$軸との交点の$x$座標は$2/\sqrt5$である。曲線の$x$軸との交点は$(1,0)$で、$2/\sqrt5<1<\sqrt5/2$。したがって$D$の面積は、接線と$x$軸でできる三角形の面積から、$x=1$から$Q$までの曲線と$x$軸との間の面積を引いたものである。三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\left(\frac{\sqrt5}{2}-\frac2{\sqrt5}\right)\cdot\frac12=\frac1{8\sqrt5}.$$ 一方、曲線部分の面積は媒介変数表示を用いて $$\displaystyle \int_0^{t_0} y\frac{dx}{dt}\,dt=\int_0^{t_0}\sinh^2t\,dt=\left[\frac14\sinh 2t-\frac t2\right]_0^{t_0}=\frac{\sqrt5}{8}-\frac{t_0}{2}.$$ ここで$\sinh 2t_0=2\sinh t_0\cosh t_0=\sqrt5/2$を用いた。よって $$\displaystyle [D]=\frac1{8\sqrt5}-\left(\frac{\sqrt5}{8}-\frac{t_0}{2}\right)=\frac12\left(\log\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac1{\sqrt5}\right).$$

(問3) 高さ$y$は$0\le y\le1/2$を動く。この高さでの$D$の左右の境界は、接線から$x=(y+2)/\sqrt5$、曲線から$x=\sqrt{1+y^2}$である。実際、$1+y^2-(y+2)^2/5=(2y-1)^2/5\ge0$なのでこの順序であり、回転後の断面は外半径$\sqrt{1+y^2}$、内半径$(y+2)/\sqrt5$の円環になる。したがって体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^{1/2}\left(1+y^2-\frac{(y+2)^2}{5}\right)dy=\frac{\pi}{5}\left[y+\frac43y^3-2y^2\right]_0^{1/2}=\frac{\pi}{30}.$$