2熊本大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(問1) まず与式の左辺から右辺を引いて整理すると、 $$\begin{aligned} 0&=\bigl((w+2)^2-4(w+2)\bigr)\alpha^2+w^2\beta^2-2w^2\alpha\beta-4\gamma^2+8\alpha\gamma\\ &=(w^2-4)\alpha^2+w^2\beta^2-2w^2\alpha\beta-4\gamma^2+8\alpha\gamma\\ &=w^2(\beta-\alpha)^2-4(\gamma-\alpha)^2\\ &=\bigl(w(\beta-\alpha)-2(\gamma-\alpha)\bigr)\bigl(w(\beta-\alpha)+2(\gamma-\alpha)\bigr). \end{aligned}$$ $\beta$$\ne$$\alpha$ なので、 $$\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{w}{2}\quad\text{または}\quad -\frac{w}{2}.$$ $w=x+yi\ (x>0,\ y>0)$ とおくと、$\arg w=\phi$ は $\displaystyle 0<\phi<\frac{\pi}{2}$ を満たす。したがって比の偏角は、前者では $\phi$、後者では $\phi+\pi$ である。逆に、任意のそのような $w$ に対して $(\alpha,\beta,\gamma)=(0,1,w/2)$ または $(0,1,-w/2)$ とすれば、3数は相異なり与式を満たす。よって $$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\quad\text{または}\quad \pi<\theta<\frac{3\pi}{2}.$$

(問2) $\displaystyle r=\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ とおく。正三角形であるため、$r=e^{i\pi/3}$ または $r=e^{-i\pi/3}$ である。(問1)の関係から $w=2r$ または $w=-2r$ となる。これら4候補のうち、実部・虚部がともに正なのは $2e^{i\pi/3}=1+\sqrt{3}i$ だけである。したがって $w=1+\sqrt{3}i$。

(問3) (問2)より $w=1+\sqrt{3}i$ であり、正三角形の向きと(問1)の関係から $r=w/2=(1+\sqrt{3}i)/2$ である。$d=\beta-\alpha$ とおくと、$\alpha=w$、$\beta=w+d$、$\gamma=w+rd$ である。重心の条件から $$\displaystyle w+\frac{1+r}{3}d=\frac{w^2}{2}.$$ ここで $w^2/2=-1+\sqrt{3}i$ なので、$(1+r)d/3=-2$。また $1+r=(3+\sqrt{3}i)/2$ より $$\displaystyle d=-\frac{6}{1+r}=-\frac{12}{3+\sqrt{3}i}=-3+\sqrt{3}i.$$ よって $$\beta=w+d=-2+2\sqrt{3}i,\qquad rd=-3-\sqrt{3}i,\qquad \gamma=w+rd=-2.$$ 確認すると、$\gamma-\alpha=r(\beta-\alpha)$、$|r|=|r-1|=1$ であるから3辺の長さは等しく、$\alpha+\beta+\gamma=-3+3\sqrt{3}i=3w^2/2$ で重心条件も満たす。さらに $w=2r$ なので、問1で得た関係を満たし、元の等式も成り立つ。